Kumpulan Pembahasan Soal SBMPTN Differensial 3

1. Jika garis singgung di titik (1, 2) pada parabola y = ax² + bx + 4 memiliki persamaan y = -6x + 8, maka nilai a dan b berturut-turut adalah ....

   A. 2 dan -4

   B. -4 dan 2

   C. -2 dan 0

   D. 2 dan -10

   E. 4 dan -6

   
   Pembahasan :
   Untuk menentukan nilai a dan b, kita dapat menggunakan persamaan garis singgung yang diketahui.
   ⇒ y = -6x + 8
   
   Sesuai dengan konsep turunan, gradien garis singgung merupakan turunan pertama dari persamaan garisnya, yang secara matematis dapat ditulis :
   

   Gradien = m = y' =	dy
   	dx

   
   Dengan rumus tersebut, kita peroleh gradien garis singgung sebagai berikut :
   

   ⇒ m =	dy
   	dx

   ⇒ m =	d(-6x + 8)
   	dx

   ⇒ m = -6
   Untuk persamaan garis lurus, gradien akan sama dengan koefisien dari variabel x.
   
   Gradien m = -6 merupakan gradien di titik (1,2) yang sama dengan turunan pertama parabola. Sehingga :
   

   ⇒ -6 =	d(ax2 + bx + 4)
   	dx

   ⇒ -6 = 2ax + b
   
   Substitusi nilai x = 1 ke persamaan di atas, sehingga :
   ⇒ -6 = 2ax + b
   ⇒ -6 = 2a(1) + b
   ⇒ 2a + b = -6 ....... (1)
   
   Garis singgung y = -6x + 8 menyinggung parabola di titik (1, 2) maka :
   ⇒ y = ax² + bx + 4
   ⇒ 2 = a(1)² + b(1) + 4
   ⇒ 2 = a + b + 4
   ⇒ a + b = -2
   ⇒ a = -2 - b ...... (2)
   
   Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1) :
   ⇒ 2a + b = -6
   ⇒ 2(-2 - b) + b = -6
   ⇒ -4 - 2b + b = -6
   ⇒ -b = -6 + 4
   ⇒ -b = -2
   ⇒ b = 2
   
   Substitusi nilai b untuk memperoleh nilai a :
   ⇒ a = -2 - b
   ⇒ a = -2 - 2
   ⇒ a = -4
   Jadi, nilai a = -4 dan b = 2.
   

   Jawaban : B

   
   
2. Misalkan f '(x) menyatakan turunan pertama dari fungsi berikut :

   y =	x2	, x ≠ 3
   	3 - x

   Jika f '(2) dan ½ f '(4) adalah suku pertama dan kedua suatu deret geometri tak hingga, maka jumlah deret tersebut adalah .....
   

   A. 8	D. 32
   B. 16	E. 40
   C. 24

   
   Pembahasan :
   Untuk bentuk pembagian y = ^u(x)⁄_v(x) , turunan pertamanya dapat ditentukan dengan rumus berikut :
   

   f '(x) =	u'(x).v(x) - u(x).v'(x)
   	v2(x)

   
   Dari soal, kita misalkan :
   ⇒ u(x) = x² maka u'(x) = 2x
   ⇒ v(x) = 3 - x maka v'(x) = -1
   
   Dengan rumus turunan, kita peroleh :
   

   ⇒ f '(x) =	u'(x).v(x) - u(x).v'(x)
   	v2(x)

   ⇒ f '(x) =	2x (3 - x) - x2.(-1)
   	(3 - x)2

   ⇒ f '(x) =	6x - 2x2 + x2
   	(3 - x)2

   ⇒ f '(x) =	6x - x2
   	(3 - x)2

   
   Selanjutnya kita cari nilai f '(2) sebagai berikut :
   

   ⇒ f '(2) =	6(2) - (2)2
   	(3 - 2)2

   ⇒ f '(2) =	12 - 4
   	1

   ⇒ f '(2) = 8
   
   Dengan cara yang sama kita peroleh f '(4) sebagau berikut :
   

   ⇒ f '(4) =	6(4) - (4)2
   	(3 - 4)2

   ⇒ f '(4) =	24 - 16
   	1

   ⇒ f '(4) = 8
   Dengan begitu nilai dari ½ f '(4) = 4.
   
   Kita sudah peroleh suku pertama dan suku kedua deret tak hingga yaitu 8 dan 4. Itu berarti deret tersebut memiliki rasio sebesar ½. Dengan demikian, jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah :
   

   ⇒ S∞ =	a
   	1 - r

   ⇒ S∞ =	8
   	1 - ½

   ⇒ S∞ =	8
   	½

   ⇒ S∞ = 16
   

   Jawaban : B

   
   
3. Diketahui fungsi trigonometri sebagai berikut :

   w(α) =	1 - tan2 α
   	2 sec2 α

   Nilai minimum dari fungsi w(α) adalah .....
   

   A. 0	D. -2
   B. -½	E. -∞
   C. -1

   
   Pembahasan :
   Berikut rumus & identitas trigonometri yang dapat kita manfaatkan untuk menyelesaikan soal di atas.
   

   tan α =	sin α
   	cos α

   sec α =	1
   	cos α

   
   Bentuk fungsi pada soal di atas dapat kita sederhanakan menjadi :
   

   ⇒ w(α) =	1 - tan2 α
   	2 sec2 α

   ⇒ w(α) =	1 - (sin2 α⁄cos2 α)
   	2⁄cos2 α

   ⇒ w(α) = (1 −	sin2 α	) x	cos2 α
   	cos2 α		2

   ⇒ w(α) =	cos2 α	−	sin2 α
   	2		2

   ⇒ w(α) =	cos2 α − sin2 α
   	2

   
   Sekarang ingat bahwa cos² α − sin² α = cos 2α, sehingga :
   ⇒ w(α) = ½ cos 2α 
   
   Karena fungsi w(α) dalam bentuk cosinus dan nilai minimum dari fungsi cosinus adalah -1, maka nilai minimum dari fungsi w(α) adalah : ½(-1) = -½.
   

   Jawaban : B