PEMBAHASAN SOAL SBMPTN APLIKASI TURUNAN 2

1. Gradien garis singgung suatu kurva di titik (x, y) adalah 3√x. Jika kurva tersebut melalui titik (4, 9), maka persamaan garis singgung kurva ini di titik berabsis 1 adalah .....

   A. 3x - y - 1 = 0

   B. 3x - y + 4 = 0

   C. 3x - y - 4 = 0

   D. 3x - y + 8 = 0

   E. 3x - y - 8 = 0

   
   Pembahasan :
   Ingat konsep bahwa persamaan gradien garis singgung merupakan turunan pertama dari fungsi f(x) = y'. Karena pada soal gradiennya sudah diketahui :
   ⇒ m = 3√x
   ⇒ y' = 3√x
   
   Fungsi f(x) = y dapat ditentukan dengan konsep integral :
   ⇒ y = ∫ m dx
   ⇒ y = ∫ 3√x dx
   ⇒ y = 2x^3/2 + c
   
   Karena kurvanya melalui titik (4, 9), maka substitusi nilai x = 4 dan y = 9 pada persamaannya untuk menentukan nilai c, sebagai berikut :
   ⇒ y = 2x^3/2 + c
   ⇒ 9 = 2 (4)^3/2 + c
   ⇒ 9 = 2 (4^½ .4¹) + c
   ⇒ 9 = 2 (√4 .4) + c
   ⇒ 9 = 2 (8) + c
   ⇒ c = 9 - 16
   ⇒ c = -7
   
   Karena c = -7, maka fungsi kurvanya menjadi :
   ⇒ y = 2x^3/2 + (-7)
   ⇒ y = 2x^3/2 - 7
   
   Pada soal ditanya persamaan garis singgung kurva di titik berabsis 1, maka substitusi nilai x = 1 untuk mencari titik potongnya :
   ⇒ y = 2.(1)^3/2 - 7
   ⇒ y = 2 - 7
   ⇒ y = -5
   Titik potong = (1, -5)
   
   Selanjutnya kita tentukan gradien garis singgung di titik (1, -5) :
   ⇒ m = 3√x
   ⇒ m = 3√1
   ⇒ m = 3
   
   Dengan demikian, persamaan garis singgung di titik (1, -5) adalah :
   ⇒ y - y₁ = m (x - x₁)
   ⇒ y - (-5) = 3 (x - 1)
   ⇒ y + 5 = 3x - 3
   ⇒ 0 = 3x - 3 - y - 5
   ⇒ 3x - y - 8 = 0
   

   Jawaban : E
   
   
2. Luas sebuah lingkaran adalah sebuah fungsi dari kelilingnya. Jika keliling sebuah lingkaran adalah x, maka laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya adalah ....

   A. πx	D.  x⁄π
   B. 2πx	E.  2x⁄π
   C. x⁄2π

   
   Pembahasan :
   Untuk menyelesaikan soal ini tentu kita harus mengerti rumus menentukan keliling dan luas lingkaran.
   

   • Rumus keliling lingkaran :

     K = 2 π.r

     
     
   • Rumus luas lingkaran :

     L = π.r2

     
     
   Karena luas lingkaran dinyatakan sebagai fungsi keliling, maka kedua rumus di atas harus dihubungkan sebagai berikut :
   ⇒ K = 2 π.r
   

   ⇒ r =	K
   	2π

   
   Substitusi r ke persamaan luas, sehingga diperoleh :
   ⇒ L = π.r²
   

   ⇒ L = π.	K2
   	(2π)2

   ⇒ L =	πK2
   	4π2

   ⇒ L =	K2
   	4π

   
   Karena pada soal keliling dinyatakan dalam x, maka persamaannya menjadi :
   

   ⇒ L(x) =	x2
   	4π

   
   Laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya sama dengan turunan dari fungsi luas L(x) terhadap kelilingnya (x). Jika laju perubahan dimisalkan v, maka :
   

   ⇒ v =	d L
   	dx

   ⇒ v =	d (x2/4π)
   	dx

   ⇒ v =	d (1⁄4π x2)
   	dx

   ⇒ v =	2x
   	4π

   ⇒ v =	x
   	2π

   Jawaban : C 
   
   
3. Jika jarak suatu titik dari suatu posisi P pada setiap waktu t diberikan sebagai s(t) = A sin 2t, A > 0, maka kecepatan terbesar diperoleh pada waktu t sama dengan .....
   

   k⁄2 π, k = 0, 1, 2, 3, .... k⁄2 π, k = 1, 3, 5, .... k⁄2 π, k = 0, 2, 4, 6, .... kπ, k = ½ , 2½, 4½, .... kπ, k = 1½, 3½, 5½, ....

   
   Pembahasan :
   Ingat konsep dasar bahwa kecepatan merupakan turunan dari jarak terhadap waktu.
   Persamaan jarak :
   ⇒ s(t) = A sin 2t, A > 0
   
   Kecepatan :
   

   ⇒ v =	ds
   	dt

   ⇒ v =	d (A sin 2t)
   	dt

   ⇒ v = A cos 2t. 2
   ⇒ v = 2A cos 2t
   
   Karena persamaan kecepatannya bergantung pada cos 2t dan nilai tertinggi untuk cos adalah 1, maka kecepatan maksimum akan tercapai bila :
   ⇒ cos 2t = 1
   ⇒ 2t = ± n.2π
   ⇒ 2t = ± 2n π ; dengan n = 0, 1, 2, 3, ....
   
   Karena opsi pilihan dinyatakn dalam k, maka kita misalkan k = 2n.
   ⇒2t = ± k π ; dengan k = 0, 2, 4, 6, ....
   
   Dengan demikian, kecepatan terbesar diperoleh pada :
   ⇒2t = ± k π
   

   ⇒ t =	k π	; k = 0, 2, 4, 6, ....
   	2

   Jawaban : C