PEMBAHASAN SOAL SBMPTN BARISAN ARITMATIKA 2

1. Andre kuliah di suatu perguruan tinggi negeri selama 8 semester. Besar SPP yang harus dibayar pada setiap semester adalah Rp 200.000,- lebih besar dari SPP semester sebelumnya. Jika pada semester ke-8 Andre membayar SPP sebesar Rp 2.400.000,- maka total SPP yang dibayar selama 8 semester adalah .....

   Rp 12.800.000,- Rp 13.000.000,- Rp 13.200.000,- Rp 13.400.000,- Rp 13.600.000,-

   
   Pembahasan :
   Karena besar SPP yang dibayar setiap semester bertambah sebesar 200.000,- dari SPP semester sebelumnya, maka biaya yang dikeluarkan akan membentuk barisan aritmatika dengan beda 200.000.
   
   Rumus barder aritmatika yang kita gunakan :
   

   Un = a + (n - 1)b

   Sn = n⁄2 (a + Un)

   
   
   Dengan :
   ⇒ Un = suku ke-n barisan
   ⇒ Sn = jumlah n suku pertama
   ⇒ n = banyak suku
   ⇒ a = suku awal
   ⇒ b = beda barisan
   
   Dari soal cerita di atas, diketahui :
   ⇒ b = 200.000
   ⇒ U₈ = 2.400.000
   ⇒ n = 8
   
   Karena untuk menentukan jumlah SPP selama 8 semester harus diketahui suku awalnya (a), maka kita harus menentukan nilai SPP semester pertamanya.
   
   Dari rumus suku ke-8 kita peroleh :
   ⇒ Un = a + (n - 1)b
   ⇒ U₈ = a + (8 - 1)b
   ⇒ 2.400.000 = a + (7)200.000
   ⇒ 2.400.000 = a + 1.400.000
   ⇒ a = 2.400.000 - 1.400.000
   ⇒ a = 1.000.000
   
   Dengan demikian total SPP selama 8 semester adalah :
   ⇒ Sn = ⁿ⁄₂ (a + Un)
   ⇒ S₈ = ⁸⁄₂ (a + U₈ )
   ⇒ S₈ = 4 (1.000.000 + 2.400.000)
   ⇒ S₈ = 4 (3.400.000)
   ⇒ S₈ = 13.600.000
   Jadi, total SPP adalah Rp 13.600.000,-
   

   Jawaban : E
   
   
2. Diberikn suku banyak f(x) = x³ + 3x² + a. Jika f ''(2), f '(2), dan f(2) membentuk barisan aritmatika, maka f ''(2) + f '(2) + f(2) sama dengan .....

   A. 37	D. 63
   B. 46	E. 72
   C. 51

   
   Pembahasan :
   Untuk menyelesaikan soal di atas, kita harus memahami konsep turunan pertama f '(x) dan turunan kedua f ''(x) dan konsep barisan aritmatika.
   
   Menentukan nilai f(2) :
   ⇒ f(x) = x³ + 3x² + a
   ⇒ f(2) = 2³ + 3(2)² + a
   ⇒ f(2) = 8 + 12 + a
   ⇒ f(2) = 20 + a
   
   Menentukan nilai f '(2) :
   

   ⇒ f '(x) =	d f(x)
   	dx

   ⇒ f '(x) =	d (x3 + 3x2 + a)
   	dx

   ⇒ f '(x) = 3x² + 6x
   ⇒ f '(2) = 3(2)² + 6(2)
   ⇒ f '(2) = 12 + 12
   ⇒ f '(2) = 24
   
   Menentukan nilai f ''(2) :
   

   ⇒ f ''(x) =	d f '(x)
   	dx

   ⇒ f ''(x) =	d (3x2 + 6x)
   	dx

   ⇒ f ''(x) = 6x + 6
   ⇒ f ''(2) = 6(2) + 6
   ⇒ f ''(2) = 18
   Barisan = f ''(2), f '(2), f(2) = 18, 24, 20 + a.
   
   Karena f ''(2), f '(2), dan f(2) membentuk barisan aritmatika, maka :
   ⇒ f '(2) - f ''(2) = f(2) - f '(2)
   ⇒ 24 - 18 = 20 + a - 24
   ⇒ 6 = -4 + a
   ⇒ a = 10
   
   Dengan demikian jumlah ketiganya adalah :
   ⇒ f ''(2) + f '(2) + f(2) = 18 + 24 + (20 + a)
   ⇒ f ''(2) + f '(2) + f(2) = 42 + (20 + 10)
   ⇒ f ''(2) + f '(2) + f(2) = 72
   

   Jawaban : E
   
   
3. Diketahui suatu persamaan parabola y = ax² + bx + c. Jika a, b, dan c berturut-turut merupakan suku pertama, kedua, dan ketiga suatu barisan aritmatika, serta garis singgung parabola tersebut di titik (1, 12) sejajar dengan garis y = 6x, maka nilai (3a + 2b + c) sama dengan ....

   A. 14	D. 20
   B. 16	E. 22
   C. 18

   
   Pembahasan :
   Garis singgung di titik (1, 12) maka substitusikan nilai x = 1 dan y = 12.
   ⇒ y = ax² + bx + c
   ⇒ 12 = a(1)² + b(1) + c
   ⇒ 12 = a + b + c
   ⇒ a + c = 12 - b ...... 1)
   
   Konsep barisan aritmatika :
   

   U1 + U3 = 2 U2

   a + (a + 2b) = 2 (a + b)

   
   Dengan :
   ⇒ U₁ = suku awal
   ⇒ U₂ = suku kedua
   ⇒ U₃ = suku ketiga
   
   Karena a, b, dan c membentuk barisan aritmatika dan jumlah ketiganya sama dengan 12, maka substitusi persamaan 1 ke persamaan berikut :
   ⇒ U₁ + U₃ = 2 U₂ 
   ⇒ a + c = 2b
   ⇒ 12 - b = 2b
   ⇒ 12 = 3b
   ⇒ b = 4
   
   Karena b = 4, maka :
   ⇒ a + c = 12 - b
   ⇒ a + c = 12 - 4
   ⇒ a + c = 8
   
   Sekarang kita tinjau persamaan gardien garis singgungnya :
   

   ⇒ m =	dy
   	dx

   ⇒ m =	d (ax2 + bx + c)
   	dx

   ⇒ m = 2ax + b
   
   Karena garis singung sejajar dengan garis y = 6x (gradiennya = 6), maka gradien garis singgung juga sama dengan 6. Ingat bahwa dua garis yang sejajar memiliki gradien yang sama. Dengan begitu, pada titik (1, 12) diperoleh : 
   ⇒ m = 2ax + b
   ⇒ 6 = 2a(1) + b
   ⇒ 6 = 2a + b
   
   Substitusikan nilai b = 4 yang sudah kita peroleh sebelumnya :
   ⇒ 6 = 2a + 4
   ⇒ 2a = 6 - 4
   ⇒ 2a = 2
   ⇒ a = 1
   Jadi, a = 1, b = 4, dan c = 8 - 1 = 7.
   
   Dengan demikian kite peroleh :
   ⇒ 3a + 2b + c = 3(1) + 2(4) + 7
   ⇒ 3a + 2b + c = 3 + 8 + 7
   ⇒ 3a + 2b + c = 18
   

   Jawaban : C