Pembahasan Soal SBMPTN Pertidaksamaan Harga Mutlak 1

1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x² - |x| ≤ 6 adalah ....

   {x| -2 ≤ x ≤ 3} {x| -3 ≤ x ≤ 2} {x| -2 ≤ x ≤ 2} {x| -3 ≤ x ≤ 3} {x| 0 ≤ x ≤ 3}

   
   Pembahasan :
   Harga mutlak |x| mengandung dua nilai yaitu x dan -x. Oleh karena itu, kita harus meninjau syarat-syarat untuk masing-masing nilai x kemudian menentukan himpunan penyelesaian gabungannya.
   
   Untuk x > 0 (|x| = x)
   ⇒ x² - |x| ≤ 6
   ⇒ x² - x ≤ 6
   ⇒ x² - x - 6 ≤ 0
   ⇒ (x - 3)(x + 2) ≤ 0
   ⇒ x = 3 atau x = -2
   
   Untuk mengetahui HP yang benar, maka kita dapat menggunakan garis bilangan dan tiga titik uji yang mewakili daerah penyelesaian. Kita bisa gunakan nilai x = -3, x = 0, dan x = 4 sebagai nilai uji.
   

   Nilai uji	Substitusi	Hasil
   x = -3	(-3 - 3)(-3 + 2) = 6	> 0
   x = 0	(0 - 3)(0 + 2) = -6	< 0
   x = 4	(4 - 3)(4 + 2) = 6	> 0

   
   Berdasarkan hasil uji tersebut maka himpunan penyelesaian terletak antara -2 dan 3, sehingga HP yang sesuai adalah :
   ⇒ -2 ≤ x ≤ 3 ....(i)
   
   Untuk x < 0 (|x| = -x)
   ⇒ x² - |x| ≤ 6
   ⇒ x² - (-x) ≤ 6
   ⇒ x² + x - 6 ≤ 0
   ⇒ (x + 3)(x - 2) ≤ 0
   ⇒ x = -3 atau x = 2
   
   Untuk mengetahui HP yang benar, maka kita dapat menggunakan garis bilangan dan tiga titik uji yang mewakili daerah penyelesaian. Kita bisa gunakan nilai x = -4, x = 0, dan x = 3 sebagai nilai uji.
   

   Nilai uji	Substitusi	Hasil
   x = -4	(-4 + 3)(-4 - 2) = 6	> 0
   x = 0	(0 + 3)(0 - 2) = -6	< 0
   x = 3	(3 + 3)(3 - 2) = 6	> 0

   
   Berdasarkan hasil uji tersebut maka himpunan penyelesaian terletak antara -3 dan 2, sehingga HP yang sesuai adalah :
   ⇒ -3 ≤ x ≤ 2 ..... (ii)
   
   

   

   
   Gabungan HP (i) dan (ii) adalah :
   ⇒ HP = {x| -3 ≤ x ≤ 3}
   

   Jawaban : D
   
   
2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan ||x| + x| ≤ 2 adalah ....

   {x| 0 ≤ x ≤ 1} {x| x ≤ 1} {x| x ≤ 2} {x| x ≤ 0} {x| x ≥ 0}

   
   Pembahasan :
   Sama seperti soal nomor 1, kita harus meninjau penyelesaian untuk masing-masing nilai x terlebih dahulu baru kemudian menentukan penyelesaian gabungannya.
   
   Untuk x > 0 (|x| = x)
   ⇒ ||x| + x| ≤ 2
   ⇒ x + x ≤ 2
   ⇒ 2x ≤ 2
   ⇒ x ≤ 1
   ⇒ HP = {0 ≤ x ≤ 1}....(i)
   
   Untuk x < 0 (|x| = -x)
   ⇒ ||x| + x| ≤ 2
   ⇒ -(|x| + x) ≤ 2
   ⇒ -((-x) + x) ≤ 2
   ⇒ 0 ≤ 2
   ⇒ HP = {x ≤ 0}
   Untuk x < 0, pertidaksamaan mutlak tersebut akan selalu bernilai benar.
   
   Gabungan HP (i) dan (ii) adalah :
   ⇒ HP = {x| x ≤ 1}
   

   Jawaban : B