Pembahasan Ujian Nasional Matematika 2008 No 1-5

1. Ingkaran dari pernyataan "Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap" adalah ....
   • Semua bilangan prima adalah bilangan genap
   • Semua bilangan prima bukan bilangan genap
   • Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap
   • Beberapa bilangan genp bukan bilangan prima
   • Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima

   
   Pembahasan :
   Pernyataan pada soal merupakan pernyataan berkuantor. Pada pernyataan berkuantor ada dua simbol yang umum digunakan, yaitu simbol ∀ untuk menyatakan semua atau setiap dan simbol Ǝ untuk menyatakan ada atau beberapa.
   
   Berikut bebeapa keadaan yang umum dalam kalimat berkuantor.
   

   Pernyataan	Ingkaran
   Semua adalah (∀x),P(x)	Ada yang tidak (Ǝx),~P(x)
   Ada/beberapa (Ǝx),P(x)	Semua tidak (∀x),~P(x)
   Tidak ada yang (∀x),~P(x)	Ada beberapa (Ǝx),P(x)

   
   Nah berdasarkan keadaan di atas, maka keadaan yang sesuai untuk soal kita adalah keadaan nomor 2 yaitu untuk pernyataan beberapa. Kita misalkan :
   ⇒ (Ǝx) = beberapa bilangan prima
   ⇒ P(x) = bilangan genap
   
   Maka sesuai dengan prinsip ingkaran di atas, maka ingkaran untuk (Ǝx),P(x) adalah (∀x),~P(x) yang artinya :
   ⇒ (∀x) = semua bilangan prima
   ⇒ ~P(x) = bukan bilangan genap
   
   Jadi, ingkaran untuk pernyataan "Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap" adalah "Semua bilangan prima bukan bilangan genap".
   

   Jawaban : B

Read more : Rumus Logika Matematika dan Tabel Kebenaran.

2. Diketahui premis-premis :
   1. Jika Badu rajin belajar dan patuh pada orangtua, maka ayah akan membelikan bola basket.
   2. Ayah tidak membelikan bola basket.

   Kesimpulan yang sah adalah ....
   

   • Badu rajin belajar dan Badu patuh pada orangtua
   • Badu tidak rajin belajar dan Badu tidak patuh pada orangtua
   • Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orangtua
   • Badu tidak rajin belajar dan Badu patuh pada orangtua
   • Badu rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orangtua

   
   Pembahasan :
   Untuk mempersingkat, kita dapat membuat pemisalan sebagai berikut :
   ⇒ Badu rajin belajar = u
   ⇒ Badu patuh pada orangtua = v
   ⇒ Badu rajin belajar dan patuh pada orangtua = p = (u ∧ v)
   ⇒ Ayah membelikan bola basket = q
   ⇒ Ayah tidak membelikan bola basket = ~q
   
   Berdasarkan Modus Tollens :
   

   p → q

   ~q

   ∴   ~p

   
   Kita sudah punya kesimpulan yaitu ~p. Sekarang, yang harus kita lakukan adalah mencari arti dari kesimpulan itu. Nah, karena p = (u ∧ v), maka negasinya adalah :
   ⇒ ~p = ~(u ∧ v)
   ⇒ ~p = ~u ∨ ~v
   
   Jadi, kesimpulan yang sah dari pernyataan pada soal adalah "Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak patuh pada orangtua".
   

   Jawaban : C

Read more : Menarik Kesimpulan dengan Silogisme, Modus Ponens, dan Modus Tollens.

3. Bentuk 3√24 + 2√3(√32 - 2√16) dapat disederhanakan menjadi ....

   A. √6	D. 6√6
   B. 2√6	E. 9√6
   C. 4√6

   
   Pembahasan : 
   Ingat bahwa dalam operasi matematika, perkalian atau bentuk dalam kurung harus diselesaikan lebih dahulu sebelum penjumlahan.
   ⇒ 3√24 + 2√3(√32 - 2√16) = 3√24 + 2√96 - 4√54) 
   ⇒ 3√24 + 2√3(√32 - 2√16) = 3(2√6) + 2(4√6) - 4(3√6) 
   ⇒ 3√24 + 2√3(√32 - 2√16) = 6√6 + 8√6 - 12√6
   ⇒ 3√24 + 2√3(√32 - 2√16) = 2√6
   

   Jawaban : B

Read more : Soal dan Pembahasan Perkalian Bentuk Akar.

4. Diketahui ²log 7 = a dan ²log 3 = b, maka nilai dari ⁶log 14 adalah ....

   A. a/(a+b)	D. a/a(1+b)
   B. (a+1)/(a+b)	E. (a+1)/(1+b)
   C. (a+1)/(b+1)

   
   Pembahasan :
   Prinsip penyelesaian soal logaritma di atas adalah mengubah bentuk ⁶log 14 dalam bentuk logaritma yang diketahui. Berikut salah satu cara yang bisa kita lakukan :
   

   ⇒ 6log 14 =	2log 14
   	2log 6

   ⇒ 6log 14 =	2log (7.2)
   	2log (3.2)

   ⇒ 6log 14 =	2log 7 + 2log 2
   	2log 3 + 2log 2

   ⇒ 6log 14 =	2log 7 + 1
   	2log 3 + 1

   
   Pada soal diketahui ²log 7 = a dan ²log 3 = b, maka :
   

   ⇒ 6log 14 =	a + 1
   	b + 1

   Jawaban : C

Read more : Kumpulan Soal dan Pembahasan Logaritma.

5. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum (1,2) dan melalui titik (2,3) adalah ...
   1. y = x² - 2x + 1
   2. y = x² - 2x + 3
   3. y = x² + 2x - 1
   4. y = x² + 2x + 1
   5. y = x² - 2x - 3

   
   Pembahasan : 
   Untuk menyusun fungsi kuadrat, ada beberapa kondisi khusus yang dapat kita perhatikan :
   

   1. Jika diketahui titik potong dengan sumbu x (x₁, 0) dan (x₂, 0)
      

      y = a(x − x1)(x − x2)

      
      
   2. Jika diketahui titik balik (p,q)

      y = a(x − p)2 + q

   
   Karena titik puncak berupa titik balik minimum diketahui, maka kita gunakan rumus kedua. Pada soal diketahui titik balik (p,q) = (1,2) maka :
   ⇒ y = a(x − p)² + q
   ⇒ y = a(x − 1)² + 2
   
   Karena melalui titik (2,3) maka diketahui x = 2 dan y = 3, sehingga :
   ⇒ y = a(x − 1)² + 2
   ⇒ 3 = a(2 − 1)² + 2
   ⇒ 3 = a + 2
   ⇒ a = 3 - 2
   ⇒ a = 1
   
   Jadi, persamaan grafik fungsi kuadrat tersebut adalah : 
   ⇒ y = a(x − 1)² + 2
   ⇒ y = 1(x − 1)² + 2
   ⇒ y = (x − 1)² + 2
   ⇒ y = x² − 2x + 1 + 2
   ⇒ y = x² − 2x + 3
   

   Jawaban : B
   
   

Read more : Contoh Soal dan Jawaban Menentukan Persamaan Fungsi Kuadrat.