Pembahasan Ujian Nasional Matematika 2008 No 6-10

6. Invers dari fungsi :

   f(x) =	3x - 2
   	5x + 8

   dengan x ≠ -8/5 adalah f^-1(x) = ....
   

   A.	-8x + 2
   	5x - 3

   B.	8x - 2
   	5x + 3

   C.	8x - 2
   	3 + 5x

   D.	8x + 2
   	3 - 5x

   E.	-8x + 2
   	3 - 5x

   
   Pembahasan : 
   Untuk menentukan invers dari fungsi yang berbentuk pembagian seperti pada soal, kita dapat menggunakan rumus khusus. Jika diketahui fungsi :
   

   f(x) =	ax + b
   	cx + d

   Maka inversnya adalah :
   

   f-1(x) =	-dx + b
   	cx - a

   
   Pada soal diketahui :
   

   ⇒ f(x) =	3x - 2
   	5x + 8

   ⇒ a = 3, b = -2, c = 5 dan d = 8.
   
   Berdasarkan rumus di atas, maka inversnya adalah :
   

   ⇒ f-1(x) =	-dx + b
   	cx - a

   ⇒ f-1(x) =	-8x + (-2)
   	5x - 3

   ⇒ f-1(x) =	-(8x + 2)
   	-(3 - 5x)

   ⇒ f-1(x) =	8x + 2
   	3 - 5x

   Jawaban : D

Read more : Soal dan Jawaban Fungsi Komposisi dan Invers.

7. Bila x₁ dan x₂ merupakan penyelesaian dari persamaan 2^2x - 6.2^x+1 + 32 = 0 dengan x₁ > x₂, maka nilai dari 2x₁ + x₂ = ....

   A. 1/4	D. 8
   B. 1/2	E. 16
   C. 4

   
   Pembahasan :
   Soal di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan konsep akar persamaan kuadrat. Untuk itu, kita ubah terlebih dahulu soalnya seperti berikut :
   ⇒ 2^2x - 6.2^x+1 + 32 = 0
   ⇒ 2^2x - 6.2^x.2¹ + 32 = 0
   ⇒ (2^x)² - 12.2^x + 32 = 0
   
   Kita misalkan 2^x = P, maka persamaannya menjadi :
   ⇒ P² - 12P + 32 = 0
   ⇒ (P - 4)(P - 8) = 0
   ⇒ P = 4 atau P = 8
   
   Selanjutnya kita kembalikan nilai P untuk menentukan nilai x₁ dan x₂.
   Untuk P = 4
   ⇒ 2^x = P
   ⇒ 2^x = 4
   ⇒ 2^x = 2²
   ⇒ x = 2
   
   Untuk P = 8
   ⇒ 2^x = P
   ⇒ 2^x = 8
   ⇒ 2^x = 2³
   ⇒ x = 3
   
   Karena pada soal disebutkan x₁ > x₂, maka x₁ = 3 dan x₂ = 2. Dengan demikian :
   ⇒ 2x₁ + x₂ = 2(3) + 2
   ⇒ 2x₁ + x₂ = 6 + 2
   ⇒ 2x₁ + x₂ = 8
   

   Jawaban : D

Read more : Soal dan Jawaban Eksponen.

8. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan eksponen 9^2x-4 ≥ (1/27)^x2-4 adalah ....
   1. {x| 2 ≤ x ≤ 10/3}
   2. {x| -10/3 ≤ x ≤ 2}
   3. {x| x ≤ -10/3 atau x ≥ 2}
   4. {x| x ≤ -2 atau x ≥ 10/3}
   5. {x| -10/3 ≤ x ≤ -2}

   
   Pembahasan :
   ⇒ 9^2x-4 ≥ (1/27)^x2-4
   ⇒ (3²)^2x-4 ≥ (1/27)^x2-4
   ⇒ (3)^4x-8 ≥ (3^-3)^x2-4
   ⇒ (3)^4x-8 ≥ (3)^-3x2+12
   ⇒ 4x - 8 ≥ -3x² + 12
   ⇒ 3x² - 12 + 4x - 8 ≥ 0
   ⇒ 3x² + 4x - 20 ≥ 0
   
   Jika kita selesaikan persamaannya, maka kita peroleh :
   ⇒ 3x² + 4x - 20 = 0
   ⇒ (3x + 10)(x - 2) = 0
   ⇒ x = -10/3 atau x = 2
   
   Untuk menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaannya, kita gunakan bantuan garis bilangan dan menyelidiki nilai-nilai di antara x yang diperoleh.
   

   ++++++++	- - - - - - -	+++++++
   -10/3	0	2

   
   Berdasarkan garis bilangan, maka himpunan penyelesaiannya adalah :
   ⇒ {x| x ≤ -10/3 atau x ≥ 2}
   

   Jawaban : C

Read more : Contoh Soal dan Jawaban Sifat Eksponen.

9. Akar-akar persamaan ²log² x - 6 ²log x + 8 = ²log 1 adalah x₁ dan x₂. Nilai x₁ + x₂ = ...

   A. 6	D. 12
   B. 8	E. 20
   C. 10

   
   Pembahasan :
   Sama seperti soal nomor 7, soal di atas juga dapat diselesaikan dengan menggunakan prinsip persamaan kuadrat. Untuk itu kita ubah soalnya menjadi persamaan kuadra sebagai berikut :
   ⇒ ²log² x - 6 ²log x + 8 = ²log 1
   ⇒ ²log² x - 6 ²log x + 8 = 0
   ⇒ (²log x)² - 6 ²log x + 8 = 0
   
   Kita misalkan ²log x = P, maka persamaannya menjadi :
   ⇒ (²log x)² - 6 ²log x + 8 = 0
   ⇒ P² - 6P + 8 = 0
   ⇒ (P - 2)(P - 4) = 0
   ⇒ P = 2 atau P = 4
   
   Selanjutnya, kita kembalikan nilai P untuk menentukan nilai x.
   Untuk P = 2
   ⇒ ²log x = P
   ⇒ ²log x = 2
   ⇒ ²log x = ²log 2²
   ⇒ x = 2²
   ⇒ x₁ = 4
   
   Untuk P = 4
   ⇒ ²log x = P
   ⇒ ²log x = 4
   ⇒ ²log x = ²log 2⁴
   ⇒ x = 2⁴
   ⇒ x₂ = 16
   
   Dengan demikian :
   ⇒ x₁ + x₂ = 4 + 16
   ⇒ x₁ + x₂ = 20
   

   Jawaban : E

Read more : Pembahasan Soal SBMPTN tentang Persamaan Logaritma.

10. Perbandingan umur Ali dan Badu 6 tahun yang lalu adalah 5 : 6. Hasil kali umur keduanya sekarang adalah 1.512. Umur Ali sekarang adalah ... tahun.

    A. 30	D. 38
    B. 35	E. 42
    C. 36

    
    Pembahasan :
    Untuk mempermudah, kita lakukan pemisalan sebagai berikut :
    ⇒ Umur Ali sekarang = A
    ⇒ Umur Budi sekarang = B
    
    Perbandingan umur Ali dan Budi 6 tahun yang lalu :
    

    ⇒	A - 6	=	5
    	B - 6		6

    
    Hasil kali umum Ali dan Budi sekarang :
    ⇒ A . B = 1.512
    
    Dari perbandingan umur kita peroleh persamaan :
    

    ⇒	A - 6	=	5
    	B - 6		6

    ⇒ 6(A - 6) = 5(B - 6)
    ⇒ 6A - 36 = 5B - 30
    ⇒ 6A - 36 + 30 = 5B
    ⇒ 6A - 6 = 5B
    ⇒ B = 6/5A - 6/5
    
    Substitusi nilai B ke persamaan hail kali umur :
    ⇒ A . B = 1.512
    ⇒ A(6/5A - 6/5) = 1.512
    ⇒ 6/5A² - 6/5A = 1.512
    ⇒ 6/5A² - 6/5A - 1.512  = 0
    
    Perhatikan persamaan kuadrat yang kita peroleh di atas. Selanjutnya kita kali kedua ruas dengan 5 sehingga kita peroleh :
    ⇒ 6A² - 6A - 7560 = 0
    ⇒ a = 6, b = -6, c = -7560
    
    Dengan menggunakan rumus abc, kita peroleh :
    

    ⇒ A1,2 =	-b ± √b2 - 4ac
    	2a

    ⇒ A1,2 =	6 ± √36 - 4(6)(-7560)
    	2(6)

    ⇒ A1,2 =	6 ± √36 + 181440
    	12

    ⇒ A1,2 =	6 ± √181476
    	12

    ⇒ A1,2 =	6 ± 426
    	12

    ⇒ A1 =	6 - 426
    	12

    Tidak Memenuhi karena bernilai negatif.
    
    Dengan demikian nilai A yang memenuhi adalah :
    

    ⇒ A2 =	6 + 426
    	12

    ⇒ A2 =	432
    	12

    ⇒ A = 36
    Jadi, umur Ali sekarang adalah 36 tahun.
    

    Jawaban : C

Read more : Menentukan Akar-akar Persamaan Kuadrat Dengan Rumus abc.