Distribusi binomial muncul ketika percobaan bernoulli diulang sebanyak \(n\) kali. Setiap pengulangan, peluang sukses selalu sama yaitu \(p,\) begitu juga dengan peluang gagal yaitu \(1-p.\) Setiap pengulangan bebas terhadap pengulangan berikutnya.
Dalam suatu pertandingan, peluang Ronaldo dapat mencetak gol adalah 5/6, jika ronaldo diberi kesempatan menendang sebanyak 5 kali. Tentukan besar peluang Ronaldo mencetak 4 kali gol!
Jawab
Diketahui \(p=\frac{5}{6}\) dan \(n=5\) maka \(P(X=4\) adalah \[ \begin{aligned} P(X=x)&=\binom{n}{x}p^x \left(1-p\right)^{n-x}\\ P(X=4)&=\binom{5}{4}\left(\frac{5}{6}\right)^4 \left(1-\frac{5}{6}\right)^{5-4}\\ &=0\text{,}40 \end{aligned} \] Contoh Soal #2
Misalkan sebuah mata uang memiliki dua sisi yaitu Muka (M) dan Belakang (B) yang akan diundi sebanyak 6 kali. Berapakah peluang pada undian akan muncul:
a. Ada dua sisi M
b. Ada lebih dari dua sisi M
Jawab
a. Ada dua sisi M
Diketahui peluang muncul M untuk satu kali pelemparan adalah 1/2 \((p=12)\) dan banyaknya pelemparan adalah 6 kali \((n=6).\) Peluang muncul dua sisi M adalah \[ \begin{aligned} P(X=2)&=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}\\ &=\binom{6}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(1-\frac{1}{2}\right)^{6-2}\\ &=\frac{6!}{2!(6-2)!}\frac{1}{2^2}\frac{1}{2^4}\\ &=\frac{15}{64} \end{aligned} \] b. Ada lebih dari dua sisi M
Peluang muncul besar dari dua sisi M adalah \[ \begin{aligned} P(X>2)&=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)\\ &=\frac{20}{64}+\frac{15}{64}+\frac{6}{64}+\frac{1}{64}\\ &=\frac{21}{32} \end{aligned} \]
Fungsi Padat Peluang
Distribusi binomial merupakan distribusi peluang diskret dengan fungsi peluangnya adalah \[ f(x)= \begin{cases} \displaystyle\binom{n}{x}p^x\left( 1-p \right)^{n-x}&\;\;\; x=1,2,...,n\\ \\ 0&\;\;\;\text{lainnya} \end{cases} \] dimana \(p\) adalah peluang sukses, \(n\) adalah banyaknya pengulangan dan \(x\) adalah banyaknya sukses dalam \(n\) kali pengulangan. Selain itu notasi \(\displaystyle\binom{n}{x}\) merupakan koefisien binomial, dimana \[ \binom{n}{x}=\frac{n!}{x!(n-x)!}. \]Fungsi Distribusi Kumulatif
Fungsi distribusi kumulatif distribusi binomial adalah \[ F(x) = \sum_{k=0}^{x} \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} \qquad x=1,2,...,n \]Mean
Rata-rata (Mean) distribusi binomial adalah \[ E(X)=np. \] Bukti: \[ \begin{aligned} E(X) &= \sum_{x=0}^n xf(x)\\ &=\sum_{x=0}^n x\frac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x}\\ &=\sum_{x=0}^n x\frac{n(n-1)!}{x(x-1)!(n-x)!}pp^{x-1}(1-p)^{n-x}\\ &=np \sum_{x=0}^n \frac{(n-1)!}{(x-1)!(n-x)!}p^{x-1}(1-p)^{n-x}\\ &=n\end{aligned} \]Varian
Varian distribusi binomial adalah \[ Var(X) = np(1-p). \] Bukti:\[ \begin{aligned} Var(X)&=E\left(\left[X-E(X)\right ]^2\right )\\ &= E(X^2)-\left [E(X) \right ]^2 \end{aligned} \] Untuk menyelesaikannya, tentukan bagian yang belum diketahui terlebih dahulu, yaitu \( E(X^2).\) \[ \begin{aligned} E(X^2)&= E(X^2)-E(X)+E(X)\\ &=E(X^2-X)+E(X)\\ &=E\left(X(X-1)\right)+E(X) \end{aligned} \] Selesaikan \(E\left(X(X-1) \right ).\) \[ \begin{aligned} E(X(X-1))&= \sum_{x=0}^n x(x-1)f(x) \\ &= \sum_{x=0}^n x(x-1)\frac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x} \\ &= \sum_{x=0}^n x(x-1)\frac{n(n-1)(n-2)!}{x(x-1)(x-2)!(n-x)!}p^2p^{x-2}(1-p)^{n-x} \\ &= n(n-1)p^2 \sum_{x=0}^n \frac{(n-2)!}{(x-2)!(n-x)!}p^{x-2}(1-p)^{n-x} \\ &= n^2p^2-np^2 \end{aligned} \] Selanjutnya, \[ \begin{aligned} E(X^2) &= n^2p^2-np^2+np\\ &= n^2p^2+np(1-p) \end{aligned} \] Dengan demikian, \[ \begin{aligned} Var(X) &= n^2p^2+np(1-p) (np)^2\\ &= np(1-p) \end{aligned} \]Fungsi Pembangkit Momen (MGF)
Fungsi pembangkit momen distribusi bernoulli adalah \[ M_x(t)=\left(1-p+pe^t\right)^n. \] Bukti: \[ \begin{aligned} M_x(t) &= E(e^{tx}) \\ &=\sum_{x=0}^{n}e^{tx}f(x) \\ &=\sum_{x=0}^{n}e^{tx}\binom{n}{x}p^x \left( 1-p \right)^{n-x} \\ &=\sum_{x=0}^{n}e^{tx}\frac{n!}{x!(n-x)!}p^x \left( 1-p \right)^{n-x} \\ &=\sum_{x=0}^{n}\frac{n!}{x!(n-x)!}{(pe^t)}^x \left( 1-p \right)^{n-x} \end{aligned} \] Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan teorema binomial newton, sehingga \[ \begin{aligned} M_x(t)&={(pe^t+1-p)}^{x+n-x}\\ &={(1-p+pe^t)}^n \end{aligned} \] Selanjutnya dapat diperoleh juga \[ \begin{aligned} M'_x &= npe^t \left ( 1-p+pe^t \right )^{n-1} \\ M''_x &= n(n-1){(pe^t)}^2{(1-p+pe^t)}^{n-2}\\ &\;\;\;\;+ npe^t \left ( 1-p+pe^t \right )^{n-1} \end{aligned} \] Momen-momen mentahnya (raw moments) adalah \[ \begin{aligned} \mu'_1 &= np \\ \mu'_2 &= np(1-p+np)\\ \mu'_3 &= np(1-3p+3np+2p^2-3np^2+n^2p^2)\\ \mu'_4 &= np(1-7p+7np+12p^2-18np^2+6n^2p^2\\ &\;\;\;\;-6p^3+11np^3-6n^2p^3+n^3p^3 \end{aligned} \] dan momen-momen pusat central moments\[ \begin{aligned} \mu_1 &= np \\ \mu_2 &= np(1-p)\\ \mu_3 &= np(1-p)(1-2p)\\ \mu_4 &= np(1-p)\left [ 3p^2(2-n)+3p(n-2)+1 \right ] \end{aligned} \]Kemencengan (Skewness)
Kemencengan (Skewness) dari distribusi binomial adalah \[ \displaystyle\gamma_1 = \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}. \] Bukti: \[ \begin{aligned} \gamma_1&= E\left(\left[\frac{X-E(X)}{\sqrt{Var(X)}}\right]^3\right)\\ &=\frac{\mu_3}{\sqrt{\mu_2^3}}\\ &=\frac{(1-2p)}{\sqrt{np(1-p)}} \end{aligned} \]Keruncingan (kurtosis)
Keruncingan (kurtosis) dari distribusi binomial adalah \[ \displaystyle\gamma_2 = \frac{6p^2-6p+1}{np(1-p)} \] Bukti: \[ \begin{aligned} \gamma_2 &= E\left(\left[\frac{X-E(X)}{\sqrt{Var(X)}}\right ]^4\right )\\ &= \frac{\mu_4}{\sqrt{\mu_2^4}}\\ &= \frac{3p^2(2-n)+3p(n-2)+1}{\sqrt {np(1-p)}}+3\\ &= \frac{6np^2-6p+1}{np(1-p)} \end{aligned} \]Fungsi Karakteristik
\[ \varphi_x(t)=\left(1-p+pe^{it}\right)^n \]Fungsi Pembangkit Peluang
\[ G_x(t)=\left(1-p+p^t \right)^n \]Hubungan dengan Fungsi Beta
Peluang yang mengandung banyak sukses dari \(n\) observasi dari distribusi binomial adalah \[ \begin{aligned} P&=\sum_{k=x+1}^{n}\binom{n}{k}p^k{(1-p)}^{n-k}\\ &=I_p(x+1,n-x) \end{aligned} \] dimana \[ I_x(a,b)\equiv\frac{B(x;a,b)}{B(a,b)}. \] \(B(a,b)\) adalah fungsi beta (beta function) dan \(B(x;a,b)\) adalah fungsi beta tak lengkap (incomplete beta function).Soal dan Pembahasan
Contoh Soal #1Dalam suatu pertandingan, peluang Ronaldo dapat mencetak gol adalah 5/6, jika ronaldo diberi kesempatan menendang sebanyak 5 kali. Tentukan besar peluang Ronaldo mencetak 4 kali gol!
Jawab
Diketahui \(p=\frac{5}{6}\) dan \(n=5\) maka \(P(X=4\) adalah \[ \begin{aligned} P(X=x)&=\binom{n}{x}p^x \left(1-p\right)^{n-x}\\ P(X=4)&=\binom{5}{4}\left(\frac{5}{6}\right)^4 \left(1-\frac{5}{6}\right)^{5-4}\\ &=0\text{,}40 \end{aligned} \] Contoh Soal #2
Misalkan sebuah mata uang memiliki dua sisi yaitu Muka (M) dan Belakang (B) yang akan diundi sebanyak 6 kali. Berapakah peluang pada undian akan muncul:
a. Ada dua sisi M
b. Ada lebih dari dua sisi M
Jawab
a. Ada dua sisi M
Diketahui peluang muncul M untuk satu kali pelemparan adalah 1/2 \((p=12)\) dan banyaknya pelemparan adalah 6 kali \((n=6).\) Peluang muncul dua sisi M adalah \[ \begin{aligned} P(X=2)&=\binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}\\ &=\binom{6}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(1-\frac{1}{2}\right)^{6-2}\\ &=\frac{6!}{2!(6-2)!}\frac{1}{2^2}\frac{1}{2^4}\\ &=\frac{15}{64} \end{aligned} \] b. Ada lebih dari dua sisi M
Peluang muncul besar dari dua sisi M adalah \[ \begin{aligned} P(X>2)&=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)\\ &=\frac{20}{64}+\frac{15}{64}+\frac{6}{64}+\frac{1}{64}\\ &=\frac{21}{32} \end{aligned} \]