Distribusi normal disebut juga dengan Distribusi Gauss. Peubah acak (variabel random) pada distribusi normal merupakan peubah acak yang kontinu.
Fungsi kepadatan peluang distribusi normal adalah sebagai berikut \[f(x;\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt {2 \pi \sigma^2}} \exp \left (-\frac {1}{2\sigma^2} {(x-\mu)}^2 \right )\] dimana $x$ adalah peubah acak kontinu dan $-\infty \leqslant x \leqslant \infty$. Distribusi normal memiliki dua parameter yaitu mean $\mu$ dan varian $\sigma^2$ dimana $-\infty \leqslant \mu \leqslant \infty$ dan $\sigma^2 > 0$. Dengan demikian fungsi $f(x;\mu,\sigma^2)$ dapat dibaca bahwa peubah acak $x$ mengikuti distribusi normal dengan rata-rata $\mu$ dan varian $\sigma^2$, dan dapat ditulis menjadi $X \sim N(\mu, \sigma^2)$.
Mean dan Varian
$E(X) = \mu$
$Var(X) = \sigma^2$
Untuk pembuktiannya silakan baca artikel Nilai Harapan Distribusi Normal
Fungsi Pembangkit Momen (MGF)
$M_x(t) = \exp \left (\mu t + \frac {1}{2} \sigma^2 t^2 \right )$
Silahkan buktikan fungsi pembangkit momennya di artikel MGF Distribusi Normal
Fungsi Karakteristik
$C_x(t) = \exp \left (i\mu t + \frac {1}{2} i^2 \sigma^2 t^2 \right )$
Fungsi Pembangkit Peluang
$G_x(t) = \exp \left (\mu \ln (t) + \frac {1}{2} \sigma^2 \ln^2 (t^2) \right )$
Kurva distribusi normal berbentuk lonceng (genta). Jika anda ingin membuat kurva distribusi normal tersebut, silahkan baca artikel Kurva Distribusi Normal dengan Software Minitab. Luas wilayah di bawah kurva normal adalah 1 (baca: Luas di Bawah Kurva Normal). Namun demikian, proses penghitungan luas kurva antara $x_1$ dan $x_2$ sangat sulit dilakukan karena integralnya tidak dalam bentuk sederhana.
Untuk menyederhanakan penghitungan, maka peubah acak distribusi normal ditransformasi sehingga fungsi distribusinya juga ikut berubah yaitu menjadi fungsi distribusi normal standar (distribusi normal baku). Silahkan baca proses transformasinya di Distribusi Normal Standar (Normal Baku).
Luas kurva Distribusi Normal Standar sudah ditabelkan, sehingga penghitungannya menjadi lebih mudah. Silahkan lihat tabelnya di Tabel Z Distribusi Normal. Cara menghitungnya dengan tabel tersebut dapat dibaca di artikel Menghitung Luas Area dengan Menggunakan Tabel Z Distribusi Normal Baku.
Jika kita memerlukan data yang berdistribusi normal untuk simulasi, kita bisa mebangkitkan datanya dengan menggunakan software, misalnya software Minitab.
Fungsi kepadatan peluang distribusi normal adalah sebagai berikut \[f(x;\mu,\sigma^2) = \frac{1}{\sqrt {2 \pi \sigma^2}} \exp \left (-\frac {1}{2\sigma^2} {(x-\mu)}^2 \right )\] dimana $x$ adalah peubah acak kontinu dan $-\infty \leqslant x \leqslant \infty$. Distribusi normal memiliki dua parameter yaitu mean $\mu$ dan varian $\sigma^2$ dimana $-\infty \leqslant \mu \leqslant \infty$ dan $\sigma^2 > 0$. Dengan demikian fungsi $f(x;\mu,\sigma^2)$ dapat dibaca bahwa peubah acak $x$ mengikuti distribusi normal dengan rata-rata $\mu$ dan varian $\sigma^2$, dan dapat ditulis menjadi $X \sim N(\mu, \sigma^2)$.
Mean dan Varian
$E(X) = \mu$
$Var(X) = \sigma^2$
Untuk pembuktiannya silakan baca artikel Nilai Harapan Distribusi Normal
Fungsi Pembangkit Momen (MGF)
$M_x(t) = \exp \left (\mu t + \frac {1}{2} \sigma^2 t^2 \right )$
Silahkan buktikan fungsi pembangkit momennya di artikel MGF Distribusi Normal
Fungsi Karakteristik
$C_x(t) = \exp \left (i\mu t + \frac {1}{2} i^2 \sigma^2 t^2 \right )$
Fungsi Pembangkit Peluang
$G_x(t) = \exp \left (\mu \ln (t) + \frac {1}{2} \sigma^2 \ln^2 (t^2) \right )$
Kurva distribusi normal berbentuk lonceng (genta). Jika anda ingin membuat kurva distribusi normal tersebut, silahkan baca artikel Kurva Distribusi Normal dengan Software Minitab. Luas wilayah di bawah kurva normal adalah 1 (baca: Luas di Bawah Kurva Normal). Namun demikian, proses penghitungan luas kurva antara $x_1$ dan $x_2$ sangat sulit dilakukan karena integralnya tidak dalam bentuk sederhana.
Untuk menyederhanakan penghitungan, maka peubah acak distribusi normal ditransformasi sehingga fungsi distribusinya juga ikut berubah yaitu menjadi fungsi distribusi normal standar (distribusi normal baku). Silahkan baca proses transformasinya di Distribusi Normal Standar (Normal Baku).
Luas kurva Distribusi Normal Standar sudah ditabelkan, sehingga penghitungannya menjadi lebih mudah. Silahkan lihat tabelnya di Tabel Z Distribusi Normal. Cara menghitungnya dengan tabel tersebut dapat dibaca di artikel Menghitung Luas Area dengan Menggunakan Tabel Z Distribusi Normal Baku.
Jika kita memerlukan data yang berdistribusi normal untuk simulasi, kita bisa mebangkitkan datanya dengan menggunakan software, misalnya software Minitab.