Fungsi peluang dari distribusi binomial negatif adalah
Penjelaan mengenai distribusi binomial negatif dapat dilihat di artikel Binomial Negatif
Moment Generating Fuction (MGF) dari distribusi binomial negatif adalah
Bukti:
MGF diperoleh dari \(E(e^{tX}).\) \[ \begin{aligned} M_x(t) &= E(e^{tX})\\ &= \sum_{x=k}^\infty e^{tX} \frac {(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!}p^k \left( 1-p \right )^{x-k}\\ &= \sum_{x=k}^\infty \frac {(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!} \left ( pe^t \right )^k \left ( (1-p)e^t \right )^{x-k}\\ &= \left ( \frac {pe^t}{1-(1-p)e^t} \right )^k \sum_{x=k}^\infty \frac {(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!} \left ( (1-p)e^t \right )^{x-k} \left ( 1-(1-p)e^t \right )^k\\ &= \left ( \frac {pe^t}{1-(1-p)e^t} \right )^k \end{aligned} \]
Mean dari distribusi binomial negatif adalah
Bukti:
Mean diperoleh dari turunan pertama dari MGF. Turunan pertama MGF distribusi binomial negatif adalah \[M'(t)=\frac{\left[1-(1-p)e^t\right]^k k\left(pe^t\right)^{k-1}pe^t-\left(pe^t\right)^k k\left[1-(1-p)e^t\right]^{k-1}\left[-(1-p)e^t\right]}{\left[1-(1-p)e^t\right]^{2k}}\] Mean adalah \(M'(0).\) \[ \begin{aligned} \mu&=M'(0)\\ &=\frac{[1-(1-p)]^k kp^{k-1}p+p^k k[1-(1-p)]^{k-1}(1-p)}{[1-(1-p)]^{2k}}\\ &=\frac{p^kkp^kp^{-1}p+p^kkp^kp{-1}(1-p)}{p^{2k}}\\ &=\frac{k}{p} \end{aligned} \]
Varian dari distribusi binomial negatif adalah
Varian diperoleh dai turunan pertama dan kedua MGF, dimana varian adalah \[ \sigma^2=M''(0)+(M'(0))^2 \] Turunan kedua MGF distribusi binomial negatif adalah \[ M''(t)=k(pe^t)^k(-k-1)[1-(1-p)e^t]^{-k-2}[-(1-p)e^t]+k^2(pe^t)^{k-1}(pe^t)[1-(1-p)e^t]^{-k-1} \] dan \[ M''(0)=\frac{k(k+1-p)}{p^2}\] Sehingga variannya adalah \[ \begin{aligned} \sigma^2&=M''(0)-(M'(0))^2\\ &=\frac{k(k+1-p)}{p^2}-\frac{k^2}{p^2}\\ &=\frac{k(1-p)}{p^2} \end{aligned} \] Sebagai perbandingan untuk artikel ini, baca juga artikel Nilai Harapan Distribusi Binomial Negatif.
| \[f(x)=\binom{x-1}{k-1}p^k(1-p)^{x-k}\] |
Fungsi Pembangkit Moment
Moment Generating Fuction (MGF) dari distribusi binomial negatif adalah
| \[M_x(t)=\left(\frac {pe^t}{1-(1-p)e^t}\right)^k\] |
MGF diperoleh dari \(E(e^{tX}).\) \[ \begin{aligned} M_x(t) &= E(e^{tX})\\ &= \sum_{x=k}^\infty e^{tX} \frac {(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!}p^k \left( 1-p \right )^{x-k}\\ &= \sum_{x=k}^\infty \frac {(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!} \left ( pe^t \right )^k \left ( (1-p)e^t \right )^{x-k}\\ &= \left ( \frac {pe^t}{1-(1-p)e^t} \right )^k \sum_{x=k}^\infty \frac {(x-1)!}{(k-1)!(x-k)!} \left ( (1-p)e^t \right )^{x-k} \left ( 1-(1-p)e^t \right )^k\\ &= \left ( \frac {pe^t}{1-(1-p)e^t} \right )^k \end{aligned} \]
Mean
Mean dari distribusi binomial negatif adalah
| \[\mu=\frac{k}{p}\] |
Mean diperoleh dari turunan pertama dari MGF. Turunan pertama MGF distribusi binomial negatif adalah \[M'(t)=\frac{\left[1-(1-p)e^t\right]^k k\left(pe^t\right)^{k-1}pe^t-\left(pe^t\right)^k k\left[1-(1-p)e^t\right]^{k-1}\left[-(1-p)e^t\right]}{\left[1-(1-p)e^t\right]^{2k}}\] Mean adalah \(M'(0).\) \[ \begin{aligned} \mu&=M'(0)\\ &=\frac{[1-(1-p)]^k kp^{k-1}p+p^k k[1-(1-p)]^{k-1}(1-p)}{[1-(1-p)]^{2k}}\\ &=\frac{p^kkp^kp^{-1}p+p^kkp^kp{-1}(1-p)}{p^{2k}}\\ &=\frac{k}{p} \end{aligned} \]
Varian
Varian dari distribusi binomial negatif adalah
| \[\sigma^2=\frac{k(1-p)}{p^2}\] |