Rata-rata Aritmatik (Rata-rata Hitung) tidak selalu lebih baik daripada Rata-rata Geometrik maupun Rata-rata Harmonik. Ada kalanya untuk data-data tertentu rata-rata geometrik atau rata-rata harmonik lebih cocok digunakan dibandingkan rata-rata aritmatik.
Pada artikel kali ini akan dibahas mengenai kelebihan dari rata-rata harmonik dibandingkan rata-rata aritmatik. Walaupun rata-rata harmonik paling jarang digunakan dibandingkan dua rata-rata yang lain, namun rata-rata harmonik memiliki kelebihan untuk beberapa kasus data misalnya data kecepatan dan data yang mengandung outlier.
Jika kita lihat referensi-referensi mengenai rata-rata harmonik, maka akan kita dapati contoh data yang digunakan dalam menghitung rata-rata harmonik adalah data kecepatan. Rata-rata kecepatan memang sebaiknya dihitung menggunakan rata-rata harmonik.
Kenapa demikian? Coba simak ilustrasi berikut.
Misalkan Alesha menegendarai mobil dari kota A ke kota B yang berjarak 60 km dengan kecepatan 60 km/jam. Sesampai di kota B, Alesha langsung kembali lagi ke kota A dengan kecepatan 30 km/jam. Berapakah rata-rata kecepatan mobil yang dikendarai oleh Alesha dari kota A ke kota B dan kembali lagi ke kota A?
Jika rata-rata yang kita gunakan adalah rata-rata aritmatik, maka nilai rata-rata kecepatan mobil yang dikendarai Alesha adalah \(\frac{1}{2}(60+30)=45\) km/jam. Sebenarnya nilai rata-rata ini bias karena tidak menggambarkan rata-rata yang sebenarnya.
Kenapa bisa bias?
Begini penjelasannya.
Jika Alesha mengendarai mobil dari kota A ke kota B yang berjarak 60 km dengan kecepatan 60 km/jam, maka waktu tempuh yang ia butuhkan adalah 1 jam. Kemudian ia kembali lagi ke kota A dengan kecepatan 30 km/jam. Dengan kecepatan 30 km/jam tersebut, waktu yang dibutuhkan Alesha untuk kembali adalah 2 jam. Artinya jarak perjalanan yang ditempuh Alesha adalah 120 km (60 km pergi dan 60 km pulang) dan waktu tempuh yang dibutuhkannya adalah 3 jam (1 jam pergi dan 2 jam pulang). Dengan demikian kecepatan mobil Alesha pergi-pulang adalah \(\frac{120\text{ km}}{3\text{ jam}}=40\) km/jam.
Kecepatan mobil yang dikendarai Alesha pergi-pulang ternyata berbeda dengan hasil hitungan rata-rata aritmatik. Oleh karena itu rata-rata aritmatik tidak tepat dalam mengestimasi rata-rata sebenarnya.
Bagaimana dengan rata-rata harmonik?
Mari kita lakukan penghitungan dengan menggunakan rata-rata harmonik. \[ \begin{align*} H&=\frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}}\\ &=\frac{2}{\displaystyle\frac{1}{60}+\frac{1}{30}}\\ &=40 \end{align*} \] Nilai rata-rata harmonik ternyata sama dengan rata-rata sebenarnya yaitu 40 km/jam. Oleh karena itu untuk kasus seperti ini rata-rata harmonik lebih tepat digunakan daripada rata-rata aritmatik.
Rata-rata harmonik sangat sensitif dengan data yang bernilai rendah. Kondisi ini membuat rata-rata harmonik sangat baik digunakan untuk data yang memiliki outlier dimana outlier tersebut memiliki nilai jauh lebih besar secara signifikan.
Misalkan diberikan data
4, 5, 4, 40, 3, 5, 6, 5
Rata-rata aritmatik dari data tersebut adalah 9. Rata-rata tersebut tentu kurang memberikan gambaran keterwakilan data. Jika kita gunakan rata-rata harmonik, maka rata-ratanya adalah 4,92. Rata-rata ini cukup memberikan gambaran keterwakilan data.
Rata-rata harmonik akan bias jika digunakan pada data yang memiliki outlier dimana outlier tersebut memiliki nilai jauh lebih kecil secara signifikan. Misalnya pada data
35, 40, 45, 36, 5, 39, 43, 40
Nilai rata-rata harmonik pada data tersebut adalah 21,19. Nilai rata-rata tersebut tentu saja tidak representatif.
Dari kedua contoh menghitung rata-rata harmonik pada data yang mengandung outlier di atas dapat disimpulkan bahwa rata-rata harmonik sangat baik digunakan jika sebagian besar nilai data terdistribusi secara merata tetapi terdapat beberapa outlier dengan nilai yang lebih besar secara signifikan.
Pada artikel kali ini akan dibahas mengenai kelebihan dari rata-rata harmonik dibandingkan rata-rata aritmatik. Walaupun rata-rata harmonik paling jarang digunakan dibandingkan dua rata-rata yang lain, namun rata-rata harmonik memiliki kelebihan untuk beberapa kasus data misalnya data kecepatan dan data yang mengandung outlier.
Rata-rata Harmonik untuk Data Kecepatan
Jika kita lihat referensi-referensi mengenai rata-rata harmonik, maka akan kita dapati contoh data yang digunakan dalam menghitung rata-rata harmonik adalah data kecepatan. Rata-rata kecepatan memang sebaiknya dihitung menggunakan rata-rata harmonik.
Kenapa demikian? Coba simak ilustrasi berikut.
Misalkan Alesha menegendarai mobil dari kota A ke kota B yang berjarak 60 km dengan kecepatan 60 km/jam. Sesampai di kota B, Alesha langsung kembali lagi ke kota A dengan kecepatan 30 km/jam. Berapakah rata-rata kecepatan mobil yang dikendarai oleh Alesha dari kota A ke kota B dan kembali lagi ke kota A?
Jika rata-rata yang kita gunakan adalah rata-rata aritmatik, maka nilai rata-rata kecepatan mobil yang dikendarai Alesha adalah \(\frac{1}{2}(60+30)=45\) km/jam. Sebenarnya nilai rata-rata ini bias karena tidak menggambarkan rata-rata yang sebenarnya.
Kenapa bisa bias?
Begini penjelasannya.
Jika Alesha mengendarai mobil dari kota A ke kota B yang berjarak 60 km dengan kecepatan 60 km/jam, maka waktu tempuh yang ia butuhkan adalah 1 jam. Kemudian ia kembali lagi ke kota A dengan kecepatan 30 km/jam. Dengan kecepatan 30 km/jam tersebut, waktu yang dibutuhkan Alesha untuk kembali adalah 2 jam. Artinya jarak perjalanan yang ditempuh Alesha adalah 120 km (60 km pergi dan 60 km pulang) dan waktu tempuh yang dibutuhkannya adalah 3 jam (1 jam pergi dan 2 jam pulang). Dengan demikian kecepatan mobil Alesha pergi-pulang adalah \(\frac{120\text{ km}}{3\text{ jam}}=40\) km/jam.
Kecepatan mobil yang dikendarai Alesha pergi-pulang ternyata berbeda dengan hasil hitungan rata-rata aritmatik. Oleh karena itu rata-rata aritmatik tidak tepat dalam mengestimasi rata-rata sebenarnya.
Bagaimana dengan rata-rata harmonik?
Mari kita lakukan penghitungan dengan menggunakan rata-rata harmonik. \[ \begin{align*} H&=\frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^n\frac{1}{x_i}}\\ &=\frac{2}{\displaystyle\frac{1}{60}+\frac{1}{30}}\\ &=40 \end{align*} \] Nilai rata-rata harmonik ternyata sama dengan rata-rata sebenarnya yaitu 40 km/jam. Oleh karena itu untuk kasus seperti ini rata-rata harmonik lebih tepat digunakan daripada rata-rata aritmatik.
Rata-rata Harmonik untuk Data Yang Mengandung Outlier (Pencilan)
Rata-rata harmonik sangat sensitif dengan data yang bernilai rendah. Kondisi ini membuat rata-rata harmonik sangat baik digunakan untuk data yang memiliki outlier dimana outlier tersebut memiliki nilai jauh lebih besar secara signifikan.
Misalkan diberikan data
Rata-rata aritmatik dari data tersebut adalah 9. Rata-rata tersebut tentu kurang memberikan gambaran keterwakilan data. Jika kita gunakan rata-rata harmonik, maka rata-ratanya adalah 4,92. Rata-rata ini cukup memberikan gambaran keterwakilan data.
Rata-rata harmonik akan bias jika digunakan pada data yang memiliki outlier dimana outlier tersebut memiliki nilai jauh lebih kecil secara signifikan. Misalnya pada data
Nilai rata-rata harmonik pada data tersebut adalah 21,19. Nilai rata-rata tersebut tentu saja tidak representatif.
Dari kedua contoh menghitung rata-rata harmonik pada data yang mengandung outlier di atas dapat disimpulkan bahwa rata-rata harmonik sangat baik digunakan jika sebagian besar nilai data terdistribusi secara merata tetapi terdapat beberapa outlier dengan nilai yang lebih besar secara signifikan.