Rata-rata Gabungan

Jika kita mempunyai beberapa buah nilai rata-rata, maka untuk mendapatkan nilai rata-rata gabungannya kita tidak boleh langsung merata-ratakan beberapa buah nilai rata-rata tersebut. Hal ini disebabkan karena masing-masing rata-rata tersebut mungkin saja berasal dari jumlah sampel yang berbeda-beda. Oleh karena itu, untuk menghitung rata-rata gabungannya, kita harus mempertimbangkan jumlah sampel masing-masing rata-rata.

Rumus yang digunakan untuk menghitung rata-rata gabungan dari sejumlah p rata-rata dengan mempertimbangkan ukuran sampel (n) adalah sebagai berikut. \[\bar x_{gab} = \frac{n_1\bar x_1 + n_2\bar x_2+ \cdots +n_k\bar x_k}{n_1 + n_2 + \cdots + n_k}\] dimana $\bar x_{gab}$ adalah rata-rata gabungan, $\bar x_1$ adalah rata-rata pertama dan $n_1$ adalah jumlah sampelnya, $\bar x_2$ adalah rata-rata kedua dan $n_2$ adalah jumlah sampelnya, begitu seterusnya hingga rata-rata ke-$k$.

Persamaan tersebut dapat disederhanakan dengan menuliskannya dalam bentuk notasi sigma sebagai berikut. \[\bar x_{gab} = \frac{\displaystyle \sum_{j=1}^{k} {n_j \bar x_j}} {\displaystyle \sum_{j=1}^{k} {n_j}}\] Dimana $\bar x_j$ adalah rata-rata ke-$j$ dan $n_j$ adalah jumlah sampelnya.

Berikut ini diberikan contoh menghitung rata-rata gabungan menggunakan rumus di atas.

Rata-rata tinggi badan 10 siswa di kelas A adalah 170,1 cm, rata-rata tinggi badan 15 siswa di kelas B adalah 173,4 cm. Selanjutnya, rata-rata tinggi badan 5 siswa di kelas C adalah 168,9. Berapakah rata-rata gabungan tinggi badan 30 siswa diketiga kelas tersebut?

Jawab:

Diketahui bahwa

1. $\bar x_1 = 170\text{,}1$ dan $n_1 = 10$
2. $\bar x_2 = 173\text{,}4$ dan $n_2 = 15$
3. $\bar x_3 = 168\text{,}9$ dan $n_3 = 5$

Dengan menggunakan rumus rata-rata gabungan di atas, penghitungannya menjadi: \begin{align*} \bar x_{gab} &= \frac{n_1\bar x_1 + n_2\bar x_2+ n_3\bar x_3}{n_1 + n_2 + n_3}\\ &= \frac{(10 \times 170\text{,}1) + (15\times 173\text{,}4) + (5 \times 168\text{,}9)}{10 + 15 + 5}\\ &= 171\text{,}55 \end{align*} Dengan demikian rata-rata gabungan 30 siswa di ketiga kelas tersebut adalah 171,55 cm.

Perhatian!!!

Jika kita langsung merata-ratakan ketiga rata-rata tersebut tanpa mempertimbangkan jumlah sampelnya, maka rata-ratanya menjadi \[\bar x = \frac {\left (170\text{,}1 + 173\text{,}4 + 168\text{,}9\right)} {3} = 170\text{,}8\] Ternyata hasilnya berbeda dengan penghitungan rata-rata dengan menggunakan rumus rata-rata gabungan di atas. Oleh karena itu, perlu kehati-hatian jika kita ingin menghitung rata-rata gabungan. Penghitungan rata-rata gabungan harus memperhatikan ukuran sampel rata-rata pembentuknya.

Contoh Soal No. 1

Nilai rata-rata ujian statistika 8 mahasiswa adalah 60, nilai rata-rata 6 orang mahasiswa yang lain adalah 70, dan nilai rata-rata 4 mahasiswa berikutnya adalah 90. Jika Nilai 18 mahasiswa tersebut digabungkan, berapakah rata-ratanya?

Jawab:

Diketahui

1. $\bar x_1 = 60$ dan $n_1 = 8$
2. $\bar x_2 = 70$ dan $n_2 = 6$
3. $\bar x_3 = 90$ dan $n_3 = 4$

Rata-rata gabungan dapat dihitung menggunakan rumus rata-rata gabungan di atas \begin{align*} \bar x_{gab} &= \frac{n_1\bar x_1 + n_2\bar x_2+ \cdots +n_k\bar x_k}{n_1 + n_2 + \cdots + n_k}\\ &= \frac{n_1\bar x_1 + n_2\bar x_2+ n_3\bar x_3}{n_1 + n_2 + n_3}\\ &= \frac{(8 \times 60) + (6 \times 70) + (4 \times 90)}{8 + 6 + 4}\\ &= 70 \end{align*} Dengan demikian, rata-rata nilai statistika 18 mahasiswa tersebut adalah 70.

Contoh Soal No. 2

Rata-rata nilai ujian matematika 40 siswa adalah 50. Jika 5 siswa yang nilainya sama dikeluarkan dari rata-rata tersebut maka rata-ratanya berubah menjadi 55. Berapakah nilai masing-masing 5 siswa tersebut?

Jawab:

Dari soal di atas diketahui

1. $n = 40$, rata-ratanya adalah $\bar x_{(40)} = 50$
2. $n-5 = 35$, rata-ratanya adalah $\bar x_{(35)} = 55$

Hitung terlebih dahulu jumlah nilai 40 siswa. \begin{align*} \bar x_{(40)} &= \frac {1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}\\ 50 &= \frac {1}{40}\sum_{i=1}^{40} x_{i}\\ \sum_{i=1}^{40} x_{i} &= 2000 \end{align*} Hitung juga jumlah nilai 35 siswa (nilai 5 siswa yang nilainya sama telah dikeluarkan). \begin{align*} \bar x_{(35)} &= \frac {1}{n-5}\sum_{i=1}^{n-5} x_{i}\\ 55 &= \frac {1}{35}\sum_{i=1}^{35} x_{i}\\ \sum_{i=1}^{35} x_{i} &= 1925 \end{align*} Jumlah nilai 5 siswa dapat diperoleh dengan mengurangi jumlah nilai 40 siswa dengan jumlah nilai 35 siswa. \begin{align*} \sum_{i=1}^{5} x_{i} &= \sum_{i=1}^{40} x_{i} - \sum_{i=1}^{35} x_{i}\\ &= 2000 - 1925\\ &= 75 \end{align*} Karena nilai 5 siswa tersebut sama, maka $\sum_{i=1}^{5} x_{i} = 5x_{i}$, sehingga \begin{align*} 5x_{i} &= 75\\ x_{i} &= 15 \end{align*} Dengan demikian nilai masing-masing 5 siswa tersebut adalah 15.

Contoh Soal No. 3

Sebuah perusahaan industri memiliki dua jenis produk yaitu produk A dan produk B. Untuk mengetahui kualitas dari kedua produk tersebut, dilakukan pengambilan sampel masing-masing dari produk A dan produk B untuk selanjutnya dilakukan pengujian. Hasil pengujian menunjukkan bahwa nilai rata-rata kualitas produk A adalah 95, sedangkan nilai rata-rata kualitas produk B adalah 75. Jika kedua sampel produk digabung, nilai rata-rata kualitas produk menjadi 87. Berapakah perbandingan jumlah sampel produk A dan produk B?

Jawab:

Dari soal di atas, diketahui $\bar x_A=95$, $\bar x_B=75$ dan $\bar x=87$. Perbandingan $n_A$ dan $n_B$ dapat diketahui dengan rumus berikut. \begin{align*} n_A \bar x_A + n_B \bar x_B&= (n_A + n_B) \bar x \\ 95n_A + 75n_B &= 87(n_A + n_B) \\ 95n_A + 75n_B &= 87n_A + 87n_B \\ 8n_A &= 12n_B \\ \frac {n_A}{n_B} &= \frac{3}{2} \\ \end{align*} Perbandingan jumlah sampel produk A dan produk B adalah 3 : 2.