Modus
adalah nilai yang memiliki frekuensi terbanyak dalam seperangkat data. Modus untuk data tunggal dapat ditentukan dengan mengelompokkan nilai data yang sama, kemudian kelompok nilai data yang paling banyak adalah modus data tersebut. Pembahasan megenai modus data tunggal dapat dibaca di artikel Modus Data Tunggal.Artikel ini khusus membahas mengenai modus data yang disusun dalam bentuk kelas-kelas interval (data berkelompok). Modus data berkelompok bisa ditentukan berdasarkan nilai tengah kelas interval yang memiliki frekuensi terbanyak. Namun nilai yang dihasilkan dari nilai tengah kelas interval ini adalah nilai yang kasar. Nilai modus yang lebih halus bisa diperoleh dengan menggunakan rumus di bawah ini.
Rumus Modus Data Berkelompok\[ Mo=b+\left(\frac{b_1}{b_1+b_2}\right)p \] Keterangan:
|
Contoh Soal #1
Berikut ini adalah nilai statistik mahasiswa jurusan ekonomi sebuah universitas.
| Kelas Interval | Frekuensi \((f)\) |
|---|---|
| 51 - 55 | 5 |
| 56 - 60 | 6 |
| 61 - 65 | 14 |
| 66 - 70 | 27 |
| 71 -75 | 21 |
| 76 - 80 | 5 |
| 81 -85 | 3 |
Jawab:
Dari tabel di atas, kita bisa mengetahui bahwa modus terletak pada kelas interval keempat (66 - 70) karena kelas tersebut memiliki frekuensi terbanyak yaitu 27 \((f_m=27),\) batas bawah kelas tersebut adalah 65,5 \((b=65\text{,}5)\), frekuensi kelas sebelumnya 14 \((f_{m-1}=14),\) frekuensi kelas sesudahnya 21 \((f_{m+1}=21),\). Panjang kelas interval sama dengan 5 \((p=5).\)
\[ \begin{align*} b_1&=f_m-f_{m-1}\\ &=27-14\\ &=13\\ b_2&=f_m-f_{m+1}\\ &=27-21\\ &=6 \end{align*} \] Selanjutnya kita menghitung modus nilai statistik mahasiswa, yaitu sebagai berikut. \[ \begin{align*} Mo&=b+\left(\frac{b_1}{b_1+b_2}\right)p\\ &=65\text{,}5+\left(\frac{13}{13+6}\right)5\\ &=65\text{,}5+3\text{,}42\\ &=68\text{,}92 \end{align*} \] Contoh Soal #2
Diberikan data berkelompok seperti di bawah ini.
| Kelas Interval | Frekuensi \((f)\) |
|---|---|
| 2 - 4 | 2 |
| 5 - 7 | 6 |
| 8 - 10 | 11 |
| 11 - 13 | 4 |
| 14 -16 | 1 |
Jawab:
Modus dari data berkelompok di atas berada pada kelas interval 8 - 10 karena kelas interval tersebut memiliki frekuensi terbanyak, yaitu 11. Dari tabel di atas dapat ketahui \[ \begin{align*} p&=3\\ b&=7\text{,}5\\ b_1&=f_m-f_{m-1}=11-6=5\\ b_2&=f_m-f_{m+1}=11-4=7 \end{align*} \] Dengan menggunakan rumus modus data berkelompok, maka modus data tersebut adalah \[ \begin{align*} Mo&=b+\left(\frac{b_1}{b_1+b_2}\right)p\\ &=7\text{,}5+\left(\frac{5}{5+7}\right)3\\ &=7\text{,}5+1\text{,}25\\ &=8\text{,}75 \end{align*} \]
Contoh Soal #3
Data umur para pekerja di sebuah pabrik sepatu adalah sebagai berikut.
| Kelas Interval | Frekuensi \((f)\) |
|---|---|
| 16 - 20 | 18 |
| 21 - 25 | 28 |
| 26 - 30 | 20 |
| 31 - 35 | 15 |
| 36 - 40 | 10 |
| 41 - 45 | 9 |
| 46 - 50 | 4 |
Jawab:
Nilai-nilai yang bisa diketahui dari tabel di atas adalah
- Kelas modus 21 - 25,
- \(b=20\text{,}5\)
- \(p=5,\)
- \(b_1=f_m-f_{m-1}=28-18=10\)
- \(b_2=f_m-f_{m+1}=28-20=8\)
Median
Pada data tunggal, penghitungan median cukup mudah. Data diurutkan berdasarkan nilai datanya mulai dari yang terkecil sampai yang terbesar. Kemudian median bisa diketahui langsung dari nilai tengah urutan data tersebut.Namun pada data berkelompok, cara tersebut tidak bisa digunakan. Data berkelompok merupakan data yang berbentuk kelas interval, sehingga kita tidak bisa langsung mengetahui nilai median jika kelas mediannya sudah diketahui.
Oleh karena itu, kita harus menggunakan rumus berikut ini.
Me = median
xii = batas bawah median
n = jumlah data
fkii = frekuensi kumulatif data di bawah kelas median
fi = frekuensi data pada kelas median
p = panjang interval kelas
Contoh Soal No. 1
Sebanyak 26 orang mahasiswa terpilih sebagai sampel dalam penelitian kesehatan di sebuah universitas. Mahasiswa yang terpilih tersebut diukur berat badannya. Hasil pengukuran berat badan disajikan dalam bentuk data berkelompok seperti di bawah ini.
Hitunglah median berat badan mahasiswa!
Jawab:
Sebelum menggunakan rumus di atas, terlebih dahulu dibuat tabel untuk menghitung frekuensi kumulatif data. Tabelnya adalah sebagai berikut.
Selanjutnya adalah menentukan nilai-nilai yang akan digunakan pada rumus.
Jumlah data adalah 26, sehingga mediannya terletak di antara data ke 13 dan 14. Data ke-13 dan 14 ini berada pada kelas interval ke-4 (61 – 65). Kelas interval ke-4 ini kita sebut kelas median.
Melalui informasi kelas median, bisa kita peroleh batas bawah kelas median sama dengan 60,5. Frekuensi kumulatif sebelum kelas median adalah 9, dan frekuensi kelas median sama dengan 5. Diketahui juga, bahwa panjang kelas sama dengan 5.
Secara matematis bisa diringkas sebagai berikut:
xii = 60,5
n = 26
fkii = 9
fi = 5
p = 5
Dari nilai-nilai tersebut dapat kita hitung median dengan menggunakan rumus median data berkelompok.
Sehingga median berat badan mahasiswa adalah 64,5 kg.
Contoh Soal No. 2
Berikut ini adalah data berat badan 50 orang mahasiswa jurusan statistika yang telah dikelompokkan ke dalam kelas-kelas interval berat badan. Hitunglah median berat badan mahasiswa tersebut.
Data berkelompok adalah data yang disajikan dalam bentuk kelas-kelas interval. Setiap kelas biasanya memiliki panjang interval yang sama.Contoh Soal No. 2
Berikut ini adalah data berat badan 50 orang mahasiswa jurusan statistika yang telah dikelompokkan ke dalam kelas-kelas interval berat badan. Hitunglah median berat badan mahasiswa tersebut.
Jawab:
Hitung terlebih dahulu frekuensi kumulatif dari data tersebut. Selanjutnya tentukan kelas interval yang memuat median data.
Karena jumlah data (mahasiswa) adalah 50, maka median data terletak pada data ke-25 dan data ke-26.
Dari hasil penghitungan frekuensi kumulatif di atas, dapat kita ketahui bahwa median terletak pada kelas interval ketiga, yaitu kelas interval 70 – 74. Frekuensi kelas interval dimana median terletak adalah 15, sedangkan frekuensi kumulatif sebelum kelas interval median adalah 16.
Selain itu dapat kita ketahui juga bahwa panjang interval adalah 5 dan batas bawah kelas median adalah 69,5.
Secara matematis, nilai-nilai tersebut dapat kita tulis dalam notasi sebagai berikut.
xii = 69,5
n = 50
fkii = 16
fi = 15
p = 5
Dengan menggunakan rumus median data berkelompok di atas, kita dapat mengetahui median berat badan mahasiswa.
Dengan demikian median berat badan mahasiswa jurusan statistika adalah 72,5 kg.
Dengan menggunakan rumus median data berkelompok di atas, kita dapat mengetahui median berat badan mahasiswa.
Dengan demikian median berat badan mahasiswa jurusan statistika adalah 72,5 kg.
Mean / Rata Rata
Ada tiga cara menghitung rata-rata data berkelompok, yaitu dengan menggunakan titik tengah, menggunakan simpangan rata-rata sementara dan menggunakan kode (coding). Rumus ketiga cara penghitungan rata-rata data berkelompok tersebut adalah sebagai berikut.
- Menggunakan titik tengah (cara biasa)
\[\bar x = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_ix_i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_i}}\] - Menggunakan simpangan rata-rata sementara
\[\bar x = {\bar x}_s + \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_id_i}}{ \displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_i}}\] dimana $d_i = {\bar x}_s - x_i$. - Menggunakan pengkodean (coding)
\[\bar x = {\bar x}_s + \left (\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_ic_i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_i}} \right ) \cdot p\] Keterangan:
$\bar x$ = rata-rata hitungdata berkelompok
${\bar x}_s$ = rata-rata sementara
$f_i$ = frekuensi data kelas ke-i
$x_i$ = nilai tengah kelas ke-i
$c_i$ = kode kelas ke-i
$p$ = panjang interval
Sebanyak 21 orang pekerja dijadikan sampel dan dihitung tinggi badannya. Data tinggi badan dibuat dalam bentuk kelas-kelas interval. Hasil pengukuran tinggi badan adalah sebagai berikut.
| Tinggi Badan | Frekuensi $(f_i)$ |
|---|---|
| 151 - 155 | 3 |
| 156 - 160 | 4 |
| 161 - 165 | 4 |
| 166 - 170 | 5 |
| 171 - 175 | 3 |
| 176 - 180 | 2 |
Hitunglah rata-rata tinggi badan pekerja dengan menggunakan titik tengah, simpangan rata-rata sementara dan cara koding!
Jawab:
1. Menggunakan titik tengah (cara biasa)
Proses penghitungan rata-rata dengan menggunakan titik tengah dibantu dengan menggunakan tabel di bawah ini.
| Tinggi Badan | Titik Tengah $(x_i)$ | Frekuensi $(f_i)$ | $f_i \cdot x_i$ |
|---|---|---|---|
| 151 - 155 | 153 | 3 | 459 |
| 156 - 160 | 158 | 4 | 632 |
| 161 - 165 | 163 | 4 | 652 |
| 166 - 170 | 168 | 5 | 840 |
| 171 - 175 | 173 | 3 | 519 |
| 176 - 180 | 178 | 2 | 356 |
| Jumlah | 21 | 3458 |
Dari tabel di atas diperoleh \[\sum_{i=1}^k f_i = 21 \qquad \sum_{i=1}^k f_ix_i = 3458\] Dengan begitu dapat kita hitung rata-rata data berkelompok sebagai berikut. \[\bar x = \frac {3458}{21} = 164,67\]
2. Dengan menggunakan simpangan rata-rata sementara
Sebelum menghitung rata-rata data berkelompok menggunakan simpangan rata-rata sementara, kita terlebih dahulu menetapkan rata-rata sementaranya. Misalkan rata-rata sementara yang kita tetapkan adalah 160. Selanjutnya kita bisa membuat tabel penghitungan sebagai berikut.
| Tinggi Badan | Titik Tengah $(x_i)$ | Frekuensi $(f_i)$ | $d_i=$ $160 - x_i$ | $f_1 \cdot d_i$ |
|---|---|---|---|---|
| 151 - 155 | 153 | 3 | -7 | -21 |
| 156 - 160 | 158 | 4 | -2 | -8 |
| 161 - 165 | 163 | 4 | 3 | 12 |
| 166 - 170 | 168 | 5 | 8 | 40 |
| 171 - 175 | 173 | 3 | 13 | 39 |
| 176 - 180 | 178 | 2 | 18 | 36 |
| Jumlah | 21 | 98 |
Dari tabel di atas diperoleh \[{\bar x}_s =160 \qquad \sum_{i=1}^k f_i = 21 \qquad \sum_{i=1}^k f_id_i = 98\] Hasil rata-rata hitung menggunakan simpangan rata-rata adalah \[\bar x = 160 + \left (\frac {98}{21} \right ) = 160 + 4,67 = 164,67\]
3. Cara coding
Sama dengan menggunakan simpangan rata-rata sementara, sebelum menghitung rata-rata dengan cara coding, kita juga harus menetapkan rata-rata sementara. Namun rata-rata sementara yang kita tetapkan harus sama dengan salah satu nilai tengah salah satu kelas interval.
Misalkan kita menetapkan rata-rata sementara adalah nilai tengah kelas keempat, yaitu 168. Dengan begitu kita bisa membuat tabel dan pengkodean seperti di bawah ini.
| Tinggi Badan | Titik Tengah $(x_i)$ | Frekuensi $(f_i)$ | Coding $(c_i)$ | $f_1 \cdot c_i$ |
|---|---|---|---|---|
| 151 - 155 | 153 | 3 | -3 | -9 |
| 156 - 160 | 158 | 4 | -2 | -8 |
| 161 - 165 | 163 | 4 | -1 | -4 |
| 166 - 170 | 168 | 5 | 0 | 0 |
| 171 - 175 | 173 | 3 | 1 | 3 |
| 176 - 180 | 178 | 2 | 2 | 4 |
| Jumlah | 21 | -14 |
Pengkodean dimulai dari angka 0 untuk kelas interval dimana rata-rata sementara ditetapkan. Kemudian dengan kelas sebelumnya berturut-turut menjadi angka negatif (-1, -2, -3 dan seterusnya) menjauhi kelas rata-rata sementara. Berikutnya dengan kelas sesudahnya berturut-turut pengkodeannya menjadi angka positif (1,2 3 dan seterusnya) menjauhi kelas rata-rata sementara tersebut.
Dari tabel di atas diperoleh \[{\bar x}_s =168 \qquad \sum_{i=1}^k f_i = 21 \qquad \sum_{i=1}^k f_ic_i = -14 \qquad p=5\] Hasil rata-rata hitung menggunakan coding adalah sebagai berikut. \[\bar x = 168 + \left (\frac {-14}{21} \right ) \cdot 5 = 168 + (-3,33) =- 164,67\]
Dari ketiga cara mencari rata-rata data berkelompok di atas, metode menggunakan titik tengah atau cara biasa merupakan metode yang paling banyak digunakan karena proses penghitungannya sangat mudah. Oleh karena itu untuk penghitungan-penghitungan selanjutnya sangat disarankan untuk menggunakan tersebut.
Contoh Soal No. 1
Nilai mahasiswa jurusan statistika untuk mata kuliah statistik deskriptif adalah sebagai berikut.
| Nilai | Frekuensi |
|---|---|
| 41 - 45 | 18 |
| 46 - 50 | 19 |
| 51 - 55 | 30 |
| 56 - 60 | 17 |
| 61 - 65 | 26 |
| 66 - 70 | 24 |
| 71 - 75 | 28 |
| 76 - 80 | 35 |
| 81 - 85 | 20 |
Hitunglah rata-rata dari nilai mahasiswa tersebut!
Jawab:
Rumus yang digunakan untuk mencari rata-rata data berkelompok di atas adalah \[\bar x = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_ix_i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_i}}\] Untuk menyelesaikannya dengan menggunakan rumus tersebut, kita harus mencari komponen-komponen dari rumus tersebut yaitu komponen $\sum_{i=1}^{k} {f_i}$ dan komponen $\sum_{i=1}^{k} {f_ix_i}$.
| Nilai (Kelas Interval) | Titik Tengah $(x_i)$ | Frekuensi $(f_i)$ | $f_i \cdot x_i$ |
|---|---|---|---|
| 41 - 45 | 43 | 18 | 774 |
| 46 - 50 | 48 | 19 | 912 |
| 51 - 55 | 53 | 30 | 1590 |
| 56 - 60 | 58 | 17 | 986 |
| 61 - 65 | 63 | 26 | 1638 |
| 66 - 70 | 68 | 24 | 1632 |
| 71 - 75 | 73 | 28 | 2044 |
| 76 - 80 | 78 | 35 | 2730 |
| 81 - 85 | 83 | 20 | 1660 |
| Jumlah | 217 | 13966 |
Dari tabel di atas diperoleh komponen \[\sum_{i=1}^{k}{f_i} = 217 \text { dan } \sum_{i=1}^{k} {f_ix_i} = 13966\] Dengan begitu dapat kita hitung rata-rata data berkelompok sebagai berikut. \[\bar x = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_ix_i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_i}} = \frac{13966}{217}=64,36\] Rata-rata nilai mahasiswa jurusan statistika untuk mata kuliah statistik deskriptif adalah 64,36.
Contoh Soal No. 2
Sebanyak 30 pelajar dikelompokkan menurut kelompok umur seperti tabel berikut.
| Kelompok Umur | Banyaknya Pelajar |
|---|---|
| 7 - 9 | 8 |
| 10 - 12 | 5 |
| 13 - 15 | 6 |
| 16 - 18 | 7 |
| 19 - 21 | 4 |
Hitunglah rata-rata umur para pelajar tersebut!
Jawab:
Tentukan titik tengah setiap kelas interval terlebih dahulu, kemudian kalikan dengan banyaknya pelajar (frekuensi).
| Kelompok Umur Kelas Interval | Titik Tengah $(x_i)$ | Banyaknya Pelajar (Frekuensi $f_i$) | $(f_i \cdot x_i)$ |
|---|---|---|---|
| 7 - 9 | 8 | 8 | 64 |
| 10 - 12 | 11 | 5 | 55 |
| 13 - 15 | 14 | 6 | 84 |
| 16 - 18 | 17 | 7 | 119 |
| 19 - 21 | 20 | 4 | 80 |
| Jumlah | 30 | 402 |
Dari tabel diperoleh \[\sum_{i=1}^{k}{f_i} = 30 \quad \sum_{i=1}^{k} {f_ix_i} = 402\] Selanjutnya kita bisa menghitung rata-rata \[\bar x = \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_ix_i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} {f_i}} = \frac{402}{30}=13,4\] Dengan demikian rata-rata umur para pelajar adalah 13,4.