Rumus varian dan standar deviasi data berkelompok tidak jauh berbeda dengan rumus varian dan standar deviasi data tunggal. Berikut adalah varian dan standar deviasi untuk data berkelompok.
Rumus Varian\[ \begin{align*} s^2 &= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{k}f_i\left (x_i-\bar {x} \right )^2\\ &= \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2-\frac{\left (\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_ix_i \right )^2}{n}}{n-1} \end{align*} \] Rumus Standar Deviasi\[ \begin{align*} s &= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{k}f_i\left (x_i-\bar {x} \right )^2}\\ &= \sqrt{\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2-\frac{\left (\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_ix_i \right )^2}{n}}{n-1}} \end{align*} \] Contoh Penghitungan
Misalnya diberikan data seperti pada contoh penghitungan pada artikel Rata-rata Data Berkelompok, yaitu:
Hitunglah varian dan standar deviasi data tersebut!
Jawab:
Dari soal telah diketahui kelas-kelas interval dan frekuensi tiap kelas interval $(f_i)$. Selanjutnya, dibuat kembali tabel untuk memperoleh banyaknya data $(n), $titik tengah $(x_i)$, $f_ix_i$ dan $f_ix_i^2.$
Dari tabel di atas, diperoleh: \[ \begin{align*} n &= 21 \\ \displaystyle \sum_{i=1}^{k}f_ix_i &= 3458\\ \displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2 &= 570634 \end{align*} \] Dari data-data tersebut dapat diperoleh varian data berkelompok, yaitu \[ \begin{align*} s^2 &= \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2-\frac{\left (\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_ix_i \right )^2}{n}}{n-1}\\ &= \frac{570634-\frac{\left (3458 \right )^2}{21}}{21-1}\\ &= 60\text{,}83 \end{align*} \] Selanjutnya, karena standar deviasi merupakan akar kuadrat dari varian, maka standar deviasi data berkelompok adalah \[ \begin{align*} s &= \sqrt{s^2} \\ &= \sqrt{60\text{,}83}\\ &= 7\text{,}80 \end{align*} \]
Rumus Varian\[ \begin{align*} s^2 &= \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{k}f_i\left (x_i-\bar {x} \right )^2\\ &= \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2-\frac{\left (\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_ix_i \right )^2}{n}}{n-1} \end{align*} \] Rumus Standar Deviasi\[ \begin{align*} s &= \sqrt{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{k}f_i\left (x_i-\bar {x} \right )^2}\\ &= \sqrt{\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2-\frac{\left (\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_ix_i \right )^2}{n}}{n-1}} \end{align*} \] Contoh Penghitungan
Misalnya diberikan data seperti pada contoh penghitungan pada artikel Rata-rata Data Berkelompok, yaitu:
| Tinggi Badan | Frekuensi $(f_i)$ |
|---|---|
| 151 - 155 | 3 |
| 156 - 160 | 4 |
| 161 - 165 | 4 |
| 166 - 170 | 5 |
| 171 - 175 | 3 |
| 176 - 180 | 2 |
Hitunglah varian dan standar deviasi data tersebut!
Jawab:
Dari soal telah diketahui kelas-kelas interval dan frekuensi tiap kelas interval $(f_i)$. Selanjutnya, dibuat kembali tabel untuk memperoleh banyaknya data $(n), $titik tengah $(x_i)$, $f_ix_i$ dan $f_ix_i^2.$
| $x_i$ | $f_i$ | $(f_ix_i)$ | $(f_ix_i^2)$ |
|---|---|---|---|
| 153 | 3 | 459 | 70277 |
| 158 | 4 | 632 | 99856 |
| 163 | 4 | 652 | 106276 |
| 168 | 5 | 840 | 141120 |
| 173 | 3 | 519 | 89787 |
| 178 | 2 | 356 | 63368 |
| 21 | 3458 | 570634 |
Dari tabel di atas, diperoleh: \[ \begin{align*} n &= 21 \\ \displaystyle \sum_{i=1}^{k}f_ix_i &= 3458\\ \displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2 &= 570634 \end{align*} \] Dari data-data tersebut dapat diperoleh varian data berkelompok, yaitu \[ \begin{align*} s^2 &= \frac{\displaystyle \sum_{i=1}^{k} f_ix_i^2-\frac{\left (\displaystyle\sum_{i=1}^{k}f_ix_i \right )^2}{n}}{n-1}\\ &= \frac{570634-\frac{\left (3458 \right )^2}{21}}{21-1}\\ &= 60\text{,}83 \end{align*} \] Selanjutnya, karena standar deviasi merupakan akar kuadrat dari varian, maka standar deviasi data berkelompok adalah \[ \begin{align*} s &= \sqrt{s^2} \\ &= \sqrt{60\text{,}83}\\ &= 7\text{,}80 \end{align*} \]