Penjelasan distribusi weibull secara teori dapat dipelajari di artikel Distribusi Weibull. Artikel ini membahas estimasi parameter distribusi weibull dengan menggunakan Metode Ranking Median dengan Pendekatan Benard
Fungsi kepadatan peluang distribusi weibull adalah \[f(x)=\frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k}.\] Estimasi parameter \(\lambda\) dan \(k\) dapat dilakukan dengan menggunakan Metode Maximum Likelihood Estimation (MLE). Namun metode ini akan menghasilkan penyelesaian yang tidak dalam bentuk closed form, sehingga penyelesaiannya harus dilanjutkan dalam bentuk numerik, misalnya menggunakan algoritma Newton-Raphson.
Pendekatan lain yang dapat dilakukan dalam mengestimasi parameter distribusi weibull adalah dengan Metode Ranking Median. Dengan metode ini, parameter distribusi weibull diestimasi melalui fungsi peluang kumulatifnya.
Coba perhatikan turunan rumus fungsi kumulatif distribusi weibull berikut ini. \[ \begin{aligned} F(x)&=1-e^{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k}\\ 1-F(x)&=e^{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k}\\ \ln{(1-F(x))}&=-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k\\ \ln{\left(\frac{1}{1-F(x)}\right)}&=\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k\\ \ln{\left[\ln{\left(\frac{1}{1-F(x)}\right)}\right]}&=k\ln{\left(\frac{x}{\lambda}\right)}\\ \ln{\left[\ln{\left(\frac{1}{1-F(x)}\right)}\right]}&=-k\ln{\lambda}+k\ln{x} \end{aligned} \] Persamaan ini mirip dengan persamaan regresi linier sederhana yaitu \[\hat{y}=a+bt\] dimana sebagai variabel dependen adalah \(\displaystyle\hat{y}=\ln{\left[\ln{\left(\frac{1}{1-F(x)}\right)}\right]},\) sebagai variabel independen adalah \(t=\ln{x},\) sebagai intersep adalah \(a=-k\ln{\lambda}\) dan sebagai slope adalah \(b=k.\)
Dengan menyelesaikan bentuk regresi linier sederhana tersebut maka estimator parameter distribusi weibull dapat diketahui, yaitu \[ \begin{aligned} \hat{\lambda}&=e^{-\left(\frac{a}{\hat{k}}\right)}\\ \hat{k}&=b \end{aligned} \] Fungsi distribusi kumulatif \(F(x)\) dapat didekati dengan Rangking Median Pendekatan Benard, yaitu \[RM=\frac{i-0\text{,}3}{n+0.4}\]
Berikut ini adalah contoh data berdistribusi weibull. Tentukan parameter dari distribusi tersebut.
Jawab:
Langkah pertama untuk menentukan parameter distribusi weilbull adalah dengan membuat rangking data yang diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Selanjutnya dihitung \(\ln{(x)}\)
Hitung Rangking Median \((RM)\) dengan Pendekatan Benard, selanjutnya hitung \[\ln{\left[\ln{\left(\frac{1}{1-RM}\right)}\right]}\]
Regresikan \(\ln{(x)}\) dan \(\displaystyle\ln{\left[\ln{\left(\frac{1}{1-RM}\right)}\right]}\) sehingga diperoleh model regresi \[\ln{\left[\ln{\left(\frac{1}{1-RM}\right)}\right]}=-10\text{,}4627+2\text{,}6867\ln{(x)}\] Selanjutnya dapat dihitung \(\hat{k}=2\text{,}6867\) dan \[\begin{aligned} \hat{\lambda}&=e^{-\left(\frac{a}{k}\right)}\\ &=e^{-\left(\frac{-10\text{,}4627}{2\text{,}6867}\right)}\\ &=49\text{,}12 \end{aligned} \]
Fungsi kepadatan peluang distribusi weibull adalah \[f(x)=\frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k}.\] Estimasi parameter \(\lambda\) dan \(k\) dapat dilakukan dengan menggunakan Metode Maximum Likelihood Estimation (MLE). Namun metode ini akan menghasilkan penyelesaian yang tidak dalam bentuk closed form, sehingga penyelesaiannya harus dilanjutkan dalam bentuk numerik, misalnya menggunakan algoritma Newton-Raphson.
Pendekatan lain yang dapat dilakukan dalam mengestimasi parameter distribusi weibull adalah dengan Metode Ranking Median. Dengan metode ini, parameter distribusi weibull diestimasi melalui fungsi peluang kumulatifnya.
Coba perhatikan turunan rumus fungsi kumulatif distribusi weibull berikut ini. \[ \begin{aligned} F(x)&=1-e^{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k}\\ 1-F(x)&=e^{-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k}\\ \ln{(1-F(x))}&=-\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k\\ \ln{\left(\frac{1}{1-F(x)}\right)}&=\left(\frac{x}{\lambda}\right)^k\\ \ln{\left[\ln{\left(\frac{1}{1-F(x)}\right)}\right]}&=k\ln{\left(\frac{x}{\lambda}\right)}\\ \ln{\left[\ln{\left(\frac{1}{1-F(x)}\right)}\right]}&=-k\ln{\lambda}+k\ln{x} \end{aligned} \] Persamaan ini mirip dengan persamaan regresi linier sederhana yaitu \[\hat{y}=a+bt\] dimana sebagai variabel dependen adalah \(\displaystyle\hat{y}=\ln{\left[\ln{\left(\frac{1}{1-F(x)}\right)}\right]},\) sebagai variabel independen adalah \(t=\ln{x},\) sebagai intersep adalah \(a=-k\ln{\lambda}\) dan sebagai slope adalah \(b=k.\)
Dengan menyelesaikan bentuk regresi linier sederhana tersebut maka estimator parameter distribusi weibull dapat diketahui, yaitu \[ \begin{aligned} \hat{\lambda}&=e^{-\left(\frac{a}{\hat{k}}\right)}\\ \hat{k}&=b \end{aligned} \] Fungsi distribusi kumulatif \(F(x)\) dapat didekati dengan Rangking Median Pendekatan Benard, yaitu \[RM=\frac{i-0\text{,}3}{n+0.4}\]
Contoh Soal
Berikut ini adalah contoh data berdistribusi weibull. Tentukan parameter dari distribusi tersebut.
| \(x\) |
|---|
| 53 |
| 42 |
| 31 |
| 61 |
| 56 |
| 65 |
| 18 |
| 47 |
| 32 |
| 28 |
Langkah pertama untuk menentukan parameter distribusi weilbull adalah dengan membuat rangking data yang diurutkan dari yang terkecil hingga yang terbesar. Selanjutnya dihitung \(\ln{(x)}\)
| Ranking \((i)\) | \(x\) | \(\ln{(x)}\) |
|---|---|---|
| 1 | 18 | 2,8904 |
| 2 | 28 | 3,3322 |
| 3 | 31 | 3,4340 |
| 4 | 32 | 3,4657 |
| 5 | 42 | 3,7377 |
| 6 | 47 | 3,8501 |
| 7 | 53 | 3,9703 |
| 8 | 56 | 4,0254 |
| 9 | 61 | 4,1109 |
| 10 | 65 | 4,1744 |
| Ranking \((i)\) | Ranking Median \((RM)\) | \(\displaystyle\ln{\left[\ln{\left(\frac{1}{1-RM}\right)}\right]}\) |
|---|---|---|
| 1 | 0.0673 | -2.6638 |
| 2 | 0.1635 | -1.7233 |
| 3 | 0.2596 | -1.2020 |
| 4 | 0.3558 | -0.8217 |
| 5 | 0.4519 | -0.5086 |
| 6 | 0.5481 | -0.2304 |
| 7 | 0.6442 | 0.0329 |
| 8 | 0.7404 | 0.2990 |
| 9 | 0.8365 | 0.5940 |
| 10 | 0.9327 | 0.9927 |