MGF dan Nilai Harapan Distribusi Geometrik

Penjelasan singkat mengenai distribusi geometrik dapat dilihat di artikel “Distribusi Geometrik”. Pada artikel kali ini akan dibahas mengenai fungsi pembangkit momen atau moment generating function (MGF) dari distribusi geometrik tersebut.

Pembahasan awal bagian ini adalah menurunkan persamaan MGF-nya, dan selanjutnya menurunkan momen pertama dan momen kedua berdasarkan hasil persamaan MGF yang telah diperoleh sebelumnya. Dari momen pertama dan kedua tersebut dapat diketahui rata-rata (mean) dan varian.

Penurunan MGF

Nilai harapan X

Nilai harapan X²

Nilai harapan (X – E(X))²

Sebagai catatan, nilai harapan X merupakan rata-rata (mean) dan Nilai harapan (X – E(X))² merupakan varian.

Nilai harapan X

Selanjutnya, jika dijabarkan akan menghasilkan Persamaan (1) sebagai berikut.

Jika persamaan (1) dikalikan dengan (1 – p), maka akan menghasilkan Persamaan (2) sebagai berikut.

Jika persamaan (1) dikurangi dengan persamaan (2), maka akan menghasilkan persamaan sebagai berikut.

Selanjutnya,

Nilai harapan X²

Selanjutnya akan menghasilkan Persamaan (3) sebagai berikut.

Jika persamaan (3) dikalikan dengan (1 – p), maka akan menghasilkan Persamaan (4) sebagai berikut.

Pengurangan persamaan (3) dan persamaan (4) akan menghasilkan Persamaan (5) yaitu sebagai berikut.

Jika persamaan (5) dikalikan dengan (1 – p), maka akan menghasilkan Persamaan (6), yaitu sebagai berikut.

Jika persamaan (5) dikurangi dengan persamaan (6), maka akan menghasilkan Persamaan (7) sebagai berikut.

Jika persamaan (7) dikalikan dengan (1 – p) maka akan menghasilkan Persamaan (8) yaitu sebagai berikut.

Jika persamaan (7) dikurangi persamaan (8), maka akan menghasilkan persamaan berikut ini.

Sehingga,

Nilai harapan (X – E(X))²