Pembahasan Soal SBMPTN Fungsi Komposisi dan Invers 1

1. Diketahui fungsi berikut :

   f(x) =	1 - x
   	x

   untuk setiap bilangan real x ≠ 0. Jika g : R → R adalah suatu fungsi sehingga (g o f)(x) = g(f(x)) = 2x + 1, maka fungsi invers g^-1(x) sama dengan ....
   

   A. g-1(x) =	x - 3
   	x + 1

   B. g-1(x) =	x - 3
   	x - 1

   C. g-1(x) =	x + 1
   	x - 3

   D. g-1(x) =	x - 3
   	1 - x

   E. g-1(x) =	x - 1
   	3 - x

   
   Pembahasan :
   Diketahui : (g o f)(x) = g(f(x)) = 2x + 1
   Kita misalkan h = g o f
   
   Invers dari fungsi h :
   ⇒ h^-1 = f^-1 o g^-1
   ⇒ f o h^-1 = f o f^-1 o g^-1
   ⇒ f o h^-1 = g^-1
   
   Karena kita misalkan h = g o f, maka :
   ⇒ h(x) = g(f(x))
   ⇒ h(x) = 2x + 1
   ⇒ 2x = h(x) - 1
   

   ⇒ x =	h(x) - 1
   	2

   ⇒ h-1(x) =	x - 1
   	2

   
   Invers dari fungsi g 
   ⇒ g^-1(x) = f(h^-1(x))
   
   Substitusi nilai h^-1(x) ke dalam fungsi f(x) sehingga :
   

   ⇒ g-1(x) =	1 - ((x-1)⁄2)
   	(x-1)⁄2

   ⇒ g-1(x) =	(2-x+1)⁄2
   	(x-1)⁄2

   ⇒ g-1(x) =	2 - x + 1	.	2
   	2		x - 1

   ⇒ g-1(x) =	3 - x
   	x - 1

   ⇒ g-1(x) =	x - 3
   	1 - x

   Jawaban : D

2. Diketahui fungsi-fungsi f dan g dengan f(x)g(x) = x² - 3x untuk setiap bilangan real x. Jika g(1) = 2, f'(1) = f(1), dan g'(1) = f(1), maka g'(1) sama dengan ....

   A. 2	D. -1
   B. 1	E. -3
   C. 0

   
   Pembahasan :
   ⇒ f(x)g(x) = x² - 3x
   
   Jika fungsi komposisi tersebut kita turunkan terhadap x, maka :
   

   ⇒	d f(x)g(x)	=	d (x2 - 3x)
   	dx		dx

   
   Untuk menurunkan perkalian dua fungsi misal h(x) = u(x).v(x), maka kita gunakan rumus berikut :
   

   h'(x) = u'(x).v(x) + u(x).v'(x)

   
   Dengan :
   h'(x) = turunan fungsi h(x)
   u'(x) = turunan fungsi u(x)
   v'(x) = turunan fungsi v(x)
   
   Berdasarkan rumus di atas, maka kita peroleh :
   

   ⇒	d f(x)g(x)	=	d (x2 - 3x)
   	dx		dx

   ⇒ f'(x).g(x) + f(x).g'(x) = 2x - 3
   
   Untuk x = 1
   ⇒ f '(1).g(1) + f(1).g'(1) = 2(1) - 3
   ⇒ f '(1).(2) + f(1).g'(1) = -1
   
   Karena f(1) = g'(1) dan f '(1) = f(1), maka :
   ⇒ f '(1).(2) + f(1).g'(1) = -1
   ⇒ f(1).(2) + f(1).f(1) = -1
   ⇒ 2 f(1) + {f(1)}² = -1
   ⇒ {f(1)}² + 2f(1) + 1 = 0
   
   Perhatikan bahwa bentuk di atas merupakan bentuk persamaan kuadrat.
   ⇒ {f(1)}² + 2f(1) + 1 = 0
   ⇒ {f(1) + 1}² = 0
   ⇒ f(1) = -1
   
   Karena nilai g'(1) = f(1), maka :
   ⇒ g'(1) = f(1)
   ⇒ g'(1) = -1
   

   Jawaban : D