Perkalian matriks A dengan matriks B ditulis dengan A × B atau biasa juga ditulis dengan notasi singkat AB. Operasi perkalian matriks A dengan matriks B hanya bisa dilakukan apabila banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris pada matriks B.
Pada perkalian matriks C = AB, elemen cij adalah penjumlahan dari masing-masing elemen pada baris ke-i dari matriks A dengan masing-masing elemen pada kolom ke-j dari matriks B.
Perkalian matriks di atas dapat diilustrasikan sebagai berikut. Misalkan matriks A berukuran 2 × 3.
atau dapat ditulis juga menjadi
dimana
dan
merupakan vektor yang berukuran 1 × 3. Selanjutnya matriks B berukuran 3 × 2.
atau dapat ditulis juga menjadi
Penjumlahan dan pengurangan dua matriks hanya bisa dilakukan jika dan hanya jika kedua matriks tersebut berdimensi (berordo) sama. Jika matriks A adalah matriks yang berdimensi n×p dan matriks B adalah matriks yang berdimensi n×p, maka matriks C = A + B dan matriks D = A - B juga merupakan matriks yang berukuran n×p.
Penjumlahan dan pengurangan pada dua matriks dilakukan pada elemen-elemen yang bersesuaian.
Pada perkalian matriks C = AB, elemen cij adalah penjumlahan dari masing-masing elemen pada baris ke-i dari matriks A dengan masing-masing elemen pada kolom ke-j dari matriks B.
Perkalian matriks di atas dapat diilustrasikan sebagai berikut. Misalkan matriks A berukuran 2 × 3.
dimana vektor b1 dan b2 adalah vektor-vektor yang berukuran 3 × 1. Selanjutnya perkalian matriks A dan matriks B akan menghasilkan matriks C berukuran 2 × 2.
dimana
Berikut ini diberikan contoh dengan perhitungan.
Berikut ini diberikan contoh dengan perhitungan.
Dari contoh di atas, matriks A berukuran 4 × 3, matriks B berukuran 3 × 2, selanjutnya matriks C = AB berukuran 4 × 2. Dari contoh tersebut, matriks AB mempunyai ukuran yang berbeda dengan matriks A maupun matriks B.
Jika matriks A berukuran (order) n × m dan matriks B berukuran m × p, maka matriks C = AB akan berdimensi n × p. Jika matriks A dan matriks B sama-sama berukuran n × n, maka matriks C = AB akan berdimensi n × n.
Jika matriks A berukuran (order) n × m dan matriks B berukuran m × p, maka matriks C = AB akan berdimensi n × p. Jika matriks A dan matriks B sama-sama berukuran n × n, maka matriks C = AB akan berdimensi n × n.
Pada contoh di atas, operasi perkalian matriks AB dapat dilakukan. Namun demikian operasi perkalian matriks BA tidak dapat dilakukan karena matriks B berukuran 3 × 2 dan matriks A berukuran 4 × 3, sehingga masing-masing elemen baris pada matriks B tidak bisa dikalikan dengan masing-masing elemen kolom pada matriks A.
Adakalanya perkalian AB maupun BA dapat dilakukan, namun perkalian masing-masing matriks tersebut menghasilkan ukuran yang berbeda. Misalnya matriks A berukuran 3 × 2 dan matriks B berukuran 2 × 3, dengan demikian matriks AB akan berukuran 3×3, sedangkan matriks BA akan berukuran 2 × 2.
Adakalanya juga matriks AB dan matriks BA memiliki ukuran yang sama, yaitu ketika matriks A dan matriks B sama-sama merupakan matriks bujur sangkar dan orde yang sama. Namun demikian elemen-elemen hasil perkaliannya belum tentu sama. Contohnya adalah sebagai berikut.
Dari hasil di atas, matriks AB dan matriks BA sama-sama berukuran 2 × 2, namun dari hasil perkaliannya ternyata AB tidak sama dengan BA.
Berikut beberapa operasi perkalian matriks yang dipadukan dengan penjumlahan dan pengurangan matriks.
Transpose dari perkalian dua matriks merupakan perkalian terbalik kedua matrik tersebut.
Pada perkalian tiga buah matriks, jika matriks A berukuran n × p, matriks B berukuran p × q dan matriks C berukuran q × m, maka matriks ABC akan berukuran n × m. Perkalian tiga buah matriks A, B dan C tidak memperhatikan matriks mana yang dilakukan operasi perkaliannya terlebih dahulu, karena yang terpenting adalah urutan perkaliannya.
Penjumlahan dan pengurangan pada dua matriks dilakukan pada elemen-elemen yang bersesuaian.
dimana
Berikut ini adalah contoh penjumlahan dan pengurangan matriks.
Pada penjumlahan matriks berlaku hukum komutatif.
Transpose dari penjumlahan dua matriks adalah penjumlahan dari transpose masing-masing matriks tersebut.